【浙教版】2018届数学中考名师点拨：专题八-三角形（含答案）.docVIP

一. 教学目标： （1）掌握三角形有关概念 知识点7 锐角三角函数与解直角三角形 例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。 （2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。 分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。 解：（1）分两种情况： ①若腰长为12，底边长为5，则第三边长为12。 ②若腰长为5，底边长为12，则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。 因此第三边长为12。 （2）分两种情况： ①若顶角为80°，则另两个内角均为底角分别是50°、50°。 ②若底角为80°，则另两个内角分别是80°、20°。 因此这个三角形的另外两个内角分别是50°、50°或80°、20°。 说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。 例2. 已知：如图，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上的一点，求证：（1）ACE≌⊿BCD，（2）AD＋AE＝DE。 分析：要证⊿ACE≌⊿BCD，已具备AC＝BC，CE＝CD两个条件，还需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD显然能证;要证AD＋AE＝DE，需条件∠DAE＝90°，因为∠BAC＝45°，所以只需证∠CAE＝∠B＝45°，由⊿ACE≌⊿BCD能得证。 证明：（1）ACE≌⊿BCD。 （2）∵⊿ACE≌⊿BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD＋AE＝DE。 例3. 已知：点P是等边⊿ABC内的一点，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的长。 分析：将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°至⊿BCD，即可证得⊿BPD为等边三角形，⊿PCD为直角三角形。 解：∵BC＝BA， ∴将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得⊿BCD，连结PD。 ∴BD＝BP＝2，PA＝DC。∴⊿BPD是等边三角形。∴∠BPD＝60°。 ∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。 ∴DC＝．∴PA＝DC＝。 【变式】若已知点P是等边⊿ABC内的一点，PA＝，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度数吗？请试一试。 例4. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． 解：（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP＝CQ． （2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ＝PB，AP＝CQ故CQ：PQ：PC＝PA：PB：PC＝3：4：5，∴△PQC是直角三角形． 点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明． 例5. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝______． 分析：∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解． 解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF， ∴∠ABC＋∠DFE＝90°，因此填90°． 点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题． 例6. 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5秒． （1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速． 解析：（1）要求该车从A点到B点的速度．只需求出AB的距离， 在△OAC中，OC＝25米．∵∠OAC＝90°－60°＝30°，∴OA＝2CO＝50米 由勾股定理得CA＝＝25（米） 在△OBC中，∠BOC＝30° ∴BC＝OB。 ∴（2BC）2＝BC2＋252（米） ∴AB＝AC－BC＝25－＝（米）∴从A到B的速度为÷1.5＝（米/秒） （2）米/秒≈69.3千米/时 ∵69.3千米/时<70千米/时 ∴该车没有超过限速． 点评：此题应用了直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用． 例7. 如图