2010年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题答案(高二).doc

2010年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题(高二) 一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分; 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 集合，集合，则中的元素的个数（ ） A． 0 个 B．无数个 C． 4个 D． 6个 【答案】D 2．函数的最小正周期是 A． B． C． D． 【答案】A 3．一束光线从点发出并经轴反射，到达圆上一点的最短路程是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 原问题可转化为：点关于轴的对称点 到达圆的最短路程，画图可知其值为 ． 4. 函数的图象大致是( ) 【答案】A 【解析】考察函数增长模型以及零点存在性判定。易知时， 但是，当时， 而当时，， 即除2以外存在函数的第二个零点，因此选A. 5. 设等比数列的公比，前n项和为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 6. 将边长为2的正△沿高折成直二面角, 则三棱锥的外接球的表面积是( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 法1 找球心. 如图, 易证AD⊥平面B1DC, DB1=DC=1, 且∠B1DC=90°, 作DB1EC为正方形,连AE, 则AE的中点为B－ADC的外接球球心, 而AE2= 12+12+()2= 5, AE= , r=, 外接球为表面积4πr2= 4π()2= 5π. 法2. 构造长方体, 把三棱锥B－ADC放入长方体中, 则长方体的对角线为三棱锥B－ADC的外接球的直径. AD=, BD=DC=1, 对角线长为, ∴ r=, 外接球为表面积4πr2= 4π()2= 5π. 7．已知A、B、C是不在同一直线上的三个点,O是平面ABC内一定点，P是平面ABC内一动点，若，则点P的轨迹必过ABC的 （ ） A.外心 B. 重心 C. 内心 D.垂心 【答案】B 【解析】由 则点P的轨迹必过ABC的重心,故选B. 8.直线的方程满足: ，则此直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ,故选C. 9．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数 的取值范围（ ） A. B.或 C. D. 【答案】A 【解析】 y=kx+2k+1恒过定点,直线y=x+2与x、y轴分别交于,,,. y B P O A x 10.等差数列的前项和为,且.设,则当数列的前项和取得最大值时, 的值是 ( ) A.23 B.25 C.23或24 D. 23或25 【答案】D 【解析】由得, 于是且 所以最大,故选D. 11. 已知函数是定义在R上的奇函数,函数的图象与函数的图象关于直线对称,若则等于 ( ) A.-2 B. 4 C.-4 D. 2 【答案】B 【解析】由函数是奇函数,可知的图象关于点(0,0)对称,则函数的图象关于点(2,1)对称. 又因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,所以函数的图象关于点(1,2)对称.由即则,即,故选B. 12. 如右图,在正方体中，给出下列四个命题 ①点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变； ②电P在直线上运动时，直线AP与平面所成角大小不变; ③点P在直线上运动时，二面角的大小不变； ④点M是平面上到点D和距离相等的点，则点M的轨迹是过点的直线.其中正确的编号是（ ） A、①② B、②③ C、①③