三角形与坐标系压轴题.docx

三角形与坐标系压轴题解：（1）等腰三角形，证明略. …… ……3′（2）解法一：设BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N， 易证AN=CK=BK，△ANG≌△BKG，∴AG=BG， 又易证AG=OG，故设∠OAG=∠AOG=x， ∠GOB=∠GBO=y，∴2x+2y=180°，x+y=90°， ∴AO⊥BO. 解法二：连BC，∵B、C关于y轴对称，AC//y轴，∴AC⊥BC， 易证△COD≌△BOE（HL），∴∠DCO=∠ABO， ∴∠BAC+∠BOC=180° ，设∠BAO=∠CAO=x， ∠OBC=∠OCB=y，∴2x+∠BOC=180° ， 又2y+∠BOC=180° ，∴x=y，故∠OAC=∠OBC， ∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO⊥OB. …… ……7′（3）连BC，则∠ACB=90°，∵∠ACM=45° ，∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，∴BM平分∠ABC，设∠ABM=∠CBM=z，由（2）可得∠OMB=x+z， ∠OBM=y+z=x+z ∴∠OMB=∠OBM，∴OM=OB 故△OBM为等腰直角△，作MG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，易证△OMG≌△OBH，∴OG=BH=1，MG=OH=3∴M(-1，3). ……12′3.如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°连OD，求∠AOD的度数；（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.解：（1）作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4，∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B（8，0）；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC≌△CEA，∴EC=DF，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；方法一：过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K，则△OCK为等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，又∵△ACD为等腰Rt△，∴∠ACK=90°-∠OCA=∠DCO，AC=DC，∴△ACK≌△DCO（SAS），∴∠DOC=∠K=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；（3）=1 成立，理由如下：在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，∴△NEM≌△FEM（SAS），∴MN=MF，∴AM-MF=AM-MN=AN，∴AM-MF=OF，即 =1；方法二：在x轴的负半轴上截取ON=AM，连EN，MN，则△EAM≌△EON（SAS），EN=EM，∠NEO=∠MEA，即∠NEF+∠FEO=∠MEA，而∠MEA+∠MEO=90°，∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF（SAS），∴NF=MF，∴AM=OF=OF+NF=OF+MF，即 =1．注：本题第（3）问的原型：已知正方形AEOP，∠GEH=45°，将∠GEH的顶点E与正方形的顶点E重合，∠GEH的两边分别交PO、AP的延长线于F、M，求证：AM=MF+OF．