专题10 导数的应用-2017年高考数学（文）母题题源系列（新课标2专版）（解析版）.docVIP

【母题原题1】【2017全国Ⅱ，文21】设函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）在和单调递减，在单调递增；（2）． 试题解析：（1）． 令得． 当时，；当时，；当时，． 所以在和单调递减，在单调递增． （2）． 当a≥1时，设函数h(x)=（1?x）ex，h′(x)= ?xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1， 故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1． 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex?x?1，g′（x）=ex?1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1． 当0＜x＜1时，，，取， 则． 当时，取则． 综上，a的取值范围是[1，+∞）． 【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立 【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 【母题原题2】【2016全国Ⅱ，文20】已知函数． (Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程； (Ⅱ)若当时，，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） （II）当时，等价于 设，则 ， （i）当，时， ，故在上单调递增，因此； （ii）当时，令得 ． 由和得，故当时，，在单调递减，因此． 综上，的取值范围是 【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【母题原题3】【2015全国Ⅱ，文16】已知曲线在点 处的切线与曲线 相切，则a= ． 【答案】8 【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题． 【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率，然后用点斜式就可写出切线方程．而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决，本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查，具有小题综合化的特点． 【2015全国Ⅱ，文21】已知． （I）讨论的单调性； （II）当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围． 【答案】（I），在是单调递增；，在单调递增，在单调递减；（II）． 试题解析： （I）的定义域为，，若，则，在是单调递增；若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减． （II）由（I）知当时在无最大值，当时在取得最大值，最大值为因此．令，则在是增函数，，于是，当时，，当时，因此a的取值范围是．学科网 【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想． 【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解． 【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据．分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧．因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力． 【命题规律】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等． 【答题模板】含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论： (1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论； (2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论； (3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论； (4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论． 【方法总结】 1．研究函数单调区间，实质研究函数极值问题．分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以