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压轴大题突破练(四) (推荐时间：60分钟) 1． 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围； (3)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由． 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)0，即(－x2＋2)ex0， ∵ex0，∴－x2＋20. 解得－x. ∴函数f(x)的单调递增区间是[－，]． (2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增， ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立， ∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex ＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex， ∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立， ∵ex0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立． 即a≥＝＝(x＋1)－对x∈(－1,1)都成立． 令y＝(x＋1)－，则y′＝1＋0. ∴y＝(x＋1)－在(－1,1)上单调递增． ∴y(1＋1)－＝.∴a≥. (3)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对x∈R恒成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立， ∵ex0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0， 这是不可能的，故函数f(x)不可能在R上单调递减． 若函数f(x)在R上单调递增， 则f′(x)≥0对x∈R恒成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立， ∵ex0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立． 而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋40， 故函数f(x)不可能在R上单调递增． 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数． 2． 设椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率e＝，右焦点到直线＋＝1的距离d＝，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值． (1)解　由e＝得＝，即a＝2c，∴b＝c. 由右焦点到直线＋＝1的距离为d＝， ＋＝1化为一般式： bx＋ay－ab＝0得＝，解得a＝2，b＝. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时， 可设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆＋＝1， 联立消去y整理可得 (4k2＋3)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0. 由根与系数的关系得：x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0. 即：(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， ∴(k2＋1)－＋m2＝0， 整理得7m2＝12(k2＋1)， 所以O到直线AB的距离d＝＝＝(为定值)． 当直线AB斜率不存在时， 可求出直线AB方程为x＝±. 则点O到直线AB的距离为(定值)． 3． 设椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶 点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足＝，且AB⊥AF2， 如图所示． (1)求椭圆C的离心率； (2)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l：x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l′与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由． 解　(1)设B(x0,0)，则F2(c,0)，A(0，b)， 由AB⊥AF2，可知△ABF2是以点A为直角顶点的直角三角形， 由＝，可知F1为BF2的中点， 且|BF2|＝2|F1F2|＝4c. ∴|AF1|＝|BF2|＝2c，而|AF1|＝a，故有a＝2c. ∴椭圆的离心率e＝. (2)由(1)，知＝，得c＝a. 于是F2，B， △ABF2的外接圆圆心为，半径r＝|F2B|＝a， ∴＝a，解得a＝2.∴c＝1，b＝. 故所求椭圆方程为＋＝1. (3)由(2)，知F2(1,0)，l′：y＝k(x－1)， 联立，得 整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， ＋＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)． 由于菱形的对角线垂直，则(＋)·＝0， 即(x2－x1)[x1＋x2－2m＋k(y1＋y2)]＝0. 故k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0， 则k2(x