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4.5 一次函数的应用 第3课时 一次函数与一次方程的联系 动脑筋 一次函数y = 5 - x的图象如图所示. (1) 方程x + y = 5 的解有多少个? 写出其中的几个. (2) 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点, 它们在一次函数y = 5 - x的图象上吗? (3) 在一次函数y = 5 - x的图象上任取一点,它的 坐标满足方程x + y = 5吗? (4) 以方程x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的 图象与一次函数y = 5 - x的图象相同吗? 事实上, 以二元一次方程x + y = 5的解为坐标 的点所组成的图形与一次函数y = 5 - x的图象完全相同. 我们知道二元一次方程x + y = 5的解有无数组, 以这些解为坐标的点在一次函数y = 5 - x的图象上. 将方程x + y = 5化成一次函数的形式:y = 5 - x , 易知该一次函数的图象上任意一点的坐标也满足 方程x + y = 5. 一般地, 一次函数y = kx + b 图象上任意一点 的坐标都是二元一次方程kx-y + b = 0 的一个解, 以二元一次方程kx- y + b = 0的解为坐标的点都在 一次函数y = kx + b的图象上. 你能找到下面两个问题之间的联系吗? (1) 解方程: 3x - 6 = 0. (2) 已知一次函数y = 3x - 6,问x取何值时,y = 0? 动脑筋 从图中可以看出,一次函数y = 3x - 6的图象与 x 轴交于点(2,0), 这就是当y = 0 时,得x = 2, 而x = 2正是方程3x - 6 = 0的解. (1) 方程3x - 6 = 0的解为x = 2. (2) 画出函数y = 3x - 6的图象(如图), 一般地,一次函数y = kx + b (k≠0) 的图象 与x 轴的交点的横坐标是一元一次方程kx + b = 0的解. 任何一个一元一次方程kx + b = 0 的解, 就是一次 函数y = kx + b 的图象与x 轴交点的横坐标. 已知一次函数y = 2x + 6, 求这个函数的图象 与x轴交点的横坐标. (1) 令y = 0, 解方程2x + 6 = 0, 得x = -3. 所以一次函数y = 2x + 6的图象与x轴交点 的横坐标为-3. 解法一 例 题 直线y = 2x + 6与x 轴交于点(-3,0), 所以该图象与x轴交点的横坐标为-3. 画出函数y = 2x + 6的图象(如图), 解法二 上面这两种解法分别从“数” 与“形” 的角 度出发来解决问题. 练习 1. 把下列二元一次方程改写成y = kx + b的形式. (1) 3x + y = 7; (2) 3x + 4y = 13. 解 (1) y = -3x+ 7; (2) y = 2. 已知函数y = 3x + 9,自变量满足什么条件时,y = 0? 答:x= -3. 3. 利用函数图象, 解方程3x - 9 = 0. -3 O 3 9 6 -3 3 6 9 x y 解 画出函数y = 3x + 9的图象,如下图所示, 所以方程3x - 9 = 0 的解为x= 3. 直线 y = 3x + 9与 x轴交于点(3,0), 小结与复习 1. 举例说明什么是函数,指出其中的自变量和因变量. 2. 函数有哪些表示方法? 它们各有什么特点? 3. 什么是一次函数?什么是正比例函数?它们之间有 什么关系? 4. 正比例函数y = kx 的图象与一次函数y = kx + b(k≠0) 的图象有何关系?它们各具有什么性质? 5. 举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式. 6. 一次函数与二元一次方程有何关系? 一次函数的图象 图象法 一次函数 用待定系数法确定 一次函数表达式 列表法 公式法 一次函数的应用 函数 变量 函数的表示法 在本章学习中,我们经历了从具体情境中抽象出数学问题,用函数表达式表示问题中的数量关系,进而得到函数模型这一过程,注意体会函数是刻画现实世界数量关系的有效模型. 研究函数问题时,通过函数图象可以数形结合地研究函数,有助于我们更全面地掌握函数的特征. 在研究函数问题时,要关注函数自变量的取值范围. 函数表达式本身以及实际问题中自变量代表的意义对 自变量有限制. 1. 2. 3.
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