立体几何的向量法1.ppt

(2)假设线段AP上存在点M.易知 =(-4，-2，4)，设 0≤λ＜1,则 =λ(0,-3,-4)， =(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4) =(-4,-2-3λ,4-4λ), =(-4,5,0).又 =(-8,0,0)， 设平面BMC的一个法向量n1=(x1,y1,z1), 平面AMC的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，则 由n1·n2=0,得 解得λ= ，故AM=3. 综上所述，存在点M符合题意，AM＝3. 【拓展提升】向量方法证明空间垂直关系的基本途径 (1)线线垂直：只要证明两直线的方向向量垂直. (2)线面垂直：①用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直； ②用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直； ③证明直线的方向向量与平面的法向量平行. (3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，还可证明两平面的法向量垂直. 【变式训练】在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. (1)求证：EF⊥CD. (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论. 【解析】如图，以DA，DC，DP所在 直线分别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系， 设AD＝a,则D(0，0，0)，B(a,a,0)， C(0，a,0)，E(a, ,0)， P(0,0,a)，F( ). (2)设G(x,0,z), =(a,0,0)， =(0,-a,a), 则 若使GF⊥平面PCB，则 由 ·(a,0,0) =a(x- )=0，得x= ; 且 ·(0,-a,a) = +a(z- )=0,得z=0. ∴G点坐标为( ，0，0)，即G点为AD的中点. 【满分指导】利用向量证明空间位置关系 【典例】(14分)(2012·福建高考改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点. (1)求证：B1E⊥AD1. (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得 DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长； 若不存在，说明理由. 【思路点拨】 与平面B1AE的法向量垂直 DP∥平面B1AE 可确定E点坐标 E为CD的中点 以A为坐标原点建立空间直角坐标系 ABCD-A1B1C1D1为长方体 条 件 分 析 已 知 条 件 【规范解答】以A为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的 正方向建立如图所示的空间直角 坐标系.………………………1分 设AB=a，则 A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E( ,1,0)，B1(a,0,1)①， ………………………………………………3分 故 (1)∵ ×0+1×1+(-1)×1=0, ………………5分 ∴B1E⊥AD1. …………………………………………………6分 (2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0,z0), 使得DP∥平面B1AE，此时 =(0,-1,z0). ………………8分 再设平面B1AE的一个法向量n＝(x,y,z)， ∵n⊥平面B1AE， ∴n⊥ ,n⊥ ,得 取x=1,则y=- ，z=-a,得平面B1AE的一个法向量n= (1,- ,-a)③.………………………………………………12分 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥ ，有 -az0=0,解得z0= ………………………………………………………………13分 又DP?平面B1AE④， ∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝ ……………………………………………………………… 14分 【失分警示】(下文①②③④见规范解答过程) 1.(2013·衡水模拟)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点，n=(1,1,1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是( ) (A)垂直 (B)不垂直 (C)平行 (D)以上都有可能 【解析】选A.由题意知， =(-1，1，0)， =(0，-1，1)， ∵n· =0,n· =0, ∴以n为方向向量的直线l与平面ABC垂直. 2.(2013·昆明模拟)如图，正方形 ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直， AB＝ ，AF＝1，M在EF上且AM∥ 平面BDE，则M点的坐标为( ) 【解析】选C.∵M在EF上，设ME＝x(x0)， ∴M( ,1). ∵A( ,