运筹学-第二章 对偶理论与灵敏度分析.pptx

运筹学第二章 对偶理论与灵敏度分析学习目标对偶问题对偶定理对偶单纯形法灵敏度分析开篇案例某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及A、B两种原材料的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利2元，每生产一件产品乙可获利3元。假设该工厂决定不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售，这时该如何考虑每种资源的定价？ 设 分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A、B的附加额。试考虑，若用一个单位台时和4个单位原材料A生产一件产品甲，可获利2元，那么生产每件产品甲的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润，即 。同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润，即 。将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为 。对工厂来说， 越大越好，但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足大于等于所有产品的利润前提下，使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。为此，得到如下模型：通过该模型的求解，即可得到工厂出租和出让3种资源的收入不低于生产产品的定价策略。 2.1 线性规划问题的对偶及其变换 对偶理论是线性规划中的重要内容之一，每个线性规划问题都伴随一个与之相对应的线性规划问题，一个问题称为原问题，则另一个则称为其对偶问题。原问题与对偶问题有着非常密切的关系，对偶理论深刻地揭示了原问题和对偶问题的内在联系，为进一步深入研究线性规划理论提供了依据。2.1.1 对偶问题的提出例2-1 已知资料如表2-1所示，问怎样安排生产计划使得既能充分利用现有资源又使得总利润最大？根据线性规划理论，可假设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2件，使得总利润最大 如果从另一个角度来讨论这个问题，现假设：该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种产品，而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务，只收取加工费。试问该决策者应如何制定合理的收费标准（接受外来加工任务利润至少不比生产产品获利少）？ 这个问题可以从两个方面来思考：（1）要求每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润；（2）定价又不能太高，因为要使对方能够接受。 假设y1,y2,y3分别为三种资源的收费定价，每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润，所以有 从承租方来看，是使租金 ，最少，则对承租方应有如下模型：对以上模型进行求解，得出的结果就是租赁双方决策者认为的最优方案。把生产模型（原问题）与租赁模型（对偶问题）进行对比： 站在生产者的立场上建立起来的数学模型同站在承租方立场上所建立的数学模型加以对比，可以发现它们的参数是一一对应的。即建立后一个模型并不需要在前一个模型的基础上增加任何补充信息。亦即后一个线性规划问题是前一个线性规划问题从相反角度所作的阐述；如果前者称为线性规划的原问题，那么后者就称为其对偶问题。 2.1.2 对偶问题的一般形式线性规划原问题的标准形式为：用 代表第i种资源的估价，则其对偶问题的形式为:用矩阵形式表示，对称形式的线形规划问题的原问题为：其对偶问题为： 如果将目标函数求极大值、约束条件取小于等于号、决策变量非负的线性规划问题称为对称形式的原问题。 对称形式的原问题与其对偶问题的对应关系可概括为：1．若原问题目标函数求极大值，那么对偶问题目标函数求极小值；2．原问题决策变量的数目等于对偶问题约束条件的数目；3．原问题约束条件的数目等于对偶问题决策变量的数目；4．原问题的价值系数 成为对偶问题的资源系数 ；5．原问题的资源系数 成为对偶问题的价值系数 ；6．原问题的技术系数矩阵与对偶问题的技术系数矩阵互为转置；7．原问题约束条件为“≤” ，对偶问题约束条件为“≥” ；8．原问题决策变量大于等于零，对偶问题决策变量大于等于零。 一般地（1）如果原问题是MAX问题，则其对偶问题是MIN问题，按下表可将其对偶问题写出。（2）如果原问题是MIN问题，则其对偶问题是MAX问题，按下表可将其对偶问题写出。 例2-2 写出下列线性规划问题的对偶问题 解：其对偶问题为 例2-3 写出下列线性规划问题的对偶问题解：其对偶问题为： 2.2 线性规划对偶问题的基本性质 假定原问题为：性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题 证明：设原问题为对偶问题为对偶问题的对偶问题为比较模型(2-7)和式(2-9), 显然二者是等价的, 命题得证。性质2(弱对偶