运筹学-第五章动态规划.ppt

* 例5.6: 有资金4万元，投资A、B、C三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。三个项目A、B、C的投资效益（万吨）和投入资金（万元）关系见下表： 求对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。 资 源 分 配 问 题 * 阶段k：每投资一个项目作为一个阶段； 状态变量xk：投资第k个项目前的资金数； 决策变量dk：第k个项目的投资； 决策允许集合：0≤dk≤xk 状态转移方程：xk+1=xk-dk 阶段指标：vk(xk ,dk)见表中所示； 递推方程：fk(xk)=max{vk(xk ,dk)+fk+1(xk+1)} 终端条件：f4(x4)=0 资 源 分 配 问 题 * k=4，f4(x4)=0k=3，0≤d3≤x3，x4=x3-d3 资 源 分 配 问 题 * k=2，0≤d2≤x2，x3=x2-d2 资 源 分 配 问 题 * k=1，0≤d1≤x1，x2=x1-d1 资 源 分 配 问 题 * 背 包 问 题 * 背 包 问 题 * 则 Max z= c1x1+c2x2+…+cnxn  s.t. w1x1+w2x2+…+wnxn≤W  x1,x2,…,xn为正整数  阶段k：第k次装载第k种物品（k=1,2,…,n） 状态变量xk：第k次装载时背包还可以装载的重量； 决策变量dk：第k次装载第k种物品的件数； 背 包 问 题 * 4. 决策允许集合： Dk(xk)={dk|0? dk?xk/wk，dk为整数}； 5. 状态转移方程：xk+1=xk-wkdk 6. 阶段指标：vk=ckdk 7. 递推方程： fk(xk)=max{ckdk+fk+1(xk+1)}= max{ckdk+fk+1(xk-wkdk)} 8. 终端条件：f4(x4)=0 背 包 问 题 * 例5.7:对于一个具体问题c1=65，c2=80，c3=30；w1=2，w2=3，w3=1；以及 W=5用动态规划求解 对于k=3 背 包 问 题 * * * * * 3．允许决策集合,在第k段为 4．目标函数。设gk(sk,uk)为第k年度的产量，则gk(sk,uk)=8uk+5(sk-uk),因此，目标函数 为 k＝1,2,．．．,5 5．条件最优目标函数递推方程。 令fk(sk)表示由第k年的状态sk出发，采取最优分配方案到第5年度结束这段时间的产品产量，根据最优化原理有以下递推关系： k=1,2,3,4,5 3.动态规划方法的基本步骤 * 6.边界条件为 下面采用逆序递推计算法,从第5年度开始递推计算。 k=5时有 显然，当u5*=s5时，f5(s5)有最大值，相应的有f5(s5)=8s5 k=4时有 3.动态规划方法的基本步骤 , = = 因此，当u4*=s4时，有最大值f4(s4)=13.6s4 * k=3 时有 可见，当u3*=s3时，f3(s3)有最大值f3(s3) =17.55s3. k=2 时有 = + = 此时，当取u2*=0时有最大值，即f2(s2)=20.8s2，其中s2=0.7u1+0.9(s1-u1) 3.动态规划方法的基本步骤 = * k=1时有 + = 当取u1*=0时, f1(s1)有最大值，即f1(s1)=23.7s1,因为s1=1000,故f1(s1)=23700个产品． 按照上述计算顺序寻踪得到下述计算结果： 3.动态规划方法的基本步骤 * 上面所讨论的最优决策过程是所谓始端状态s1固定，终端状态s6自由．如果终端也附加上一定的约束条件，那么计算结果将会与之有所差别．例如，若规定在第五个年度结束时，完好的机床数量为500台(上面只有278台)，问应该如何安排五年的生产，使之在满足这一终端要求的情况下产量最高？ 3.动态规划方法的基本步骤 * 解：由状态转移方程 有 得 显而易见，由于固定了终端的状态s6，第五年的决策变量U5的允许决策集合U5(s5