函数建模问题.docx

函数建模问题1.某汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元，销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？【解答解析】可设A，B两种型号的轿车每辆分别为x万元，y万元，通过列方程组解出（1）问．（1）设A型号的轿车每辆为x万元，B型号的轿车每辆为y万元．根据题意，得解得答：A，B两种型号的轿车每辆分别为10万元，15万元．（2）设购进A种型号轿车a辆，则购进B种型号轿车（30－a）辆．根据题意，得解此不等式组得18≤a≤20．∵a为整数，∴a=18，19，20，∴有三种购车方案．方案1：购进A型号轿车18辆，购进B型号轿车12辆；方案3：购进A型号轿车19辆，购进B型号轿车11辆；方案3：购进A型号轿车20辆，购进B型号轿车10辆．汽车销售公司将这些轿车全部售出后：方案1获利18×0.8+12×0.5=20.4（万元）；方案2获利19×0.8+11×0.5=20.7（万元）；方案3获利20×0.8+10×0.5=21（万元）．【解答】有三种购车方案，在这三种购车方案中，汽车销售公司将这些轿车全部售出后分别获利为20.4万元，20.7万元，21万元．【点评】此题通过数学建模能培养同学们应用数学知识解决实际问题的能力．2．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多多少？．答案解析　k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元)．3．随着2010年国际经济的复苏，我市某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年可最多生产的件数甲产品20a10200乙产中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润；(3)如何决定投资可获最大年利润．答案解析　(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)．(2)∵10－a>0，故y1为关于x的增函数，∴x＝200时，y1获得最大年利润S1＝(1980－200a)万美元，y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)．∴x＝100时，y2获得最大利润，S2＝460万美元．(3)S1－S2＝200(7.6－a)，故当3≤a≤7.6时，S1>S2，投资生产200件甲产品可获较大利润．4．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．答案解析　(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，∴s＝×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2；当10<t≤20时，s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20<t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上可知，s＝(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650，t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，∴当t