二次函数和相似三角形.doc

二次函数与相似三角形 1、如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线平分四边形的面积，求的值. （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以. （2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()， 令kx-2=0，得l与x轴的交点E()， 根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE, 即： （3）由（1）知 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1, 所以,………………(1) 不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上， 则（1）式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2) 把y=kx-2(k≠0)代入中，整理得x2+2kx-4=0, 所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件， 故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称. 2、（2013陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点． （1） （2）解：（1）（2）即 当x=0时，y=3a，当x=2时，y= ∴C（0，3a），D(2,-a) ∴OC=|3a|, ∵A（1，0）、E（2，0）， ∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a| 在△AOC与△DEB中， ∵∠AOC=∠DEB=90°∴当时，△AOC∽△DEB ∴时，解得或 当时，△AOC∽△BED ∴时，此方程无解， 综上所得：所求二次函数的表达式为： 或 3、（2013?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积． 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°，∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=．∴S△ABC==； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， ∴y==x2， ∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∴x=1.5时，y最大=， 如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x，∴BD=DM=3﹣x，∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y= =﹣； （3），如图4，∵y=﹣； ∴y=﹣（x2﹣4x）﹣， y=﹣（x﹣2）2+， ∵a=﹣＜0，开口向下，∴x=2时，y最大=， ∵＞，∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME． ∴DO=OE=1，∴DM=DO． ∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°，∴∠DME=90°， ∴DE是直径，S⊙O=π×12=π 4、（2013凉山）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长； （3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似