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第八讲 正方形 一、知识梳理 正方形:有一组邻边相等的矩形叫正方形．（或有一个角是直角的菱形叫正方形） 1. 正方形的性质: 由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形， 它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身. 因此，正方形具有以下性质： (1)对边平行，四条边都相等. (2)四个角都是直角． (3)两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 2. 正方形的判定方法: (1)有一组邻边相等的矩形是正方形. (2)有一个角是直角的菱形是正方形. 二、例题精讲 例1.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的是( ) 　　 A. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B. AB∥CD，AC⊥BD 　 　 C. AD∥BC，∠A=∠C D. AO=CO，BO=DO，AB=BC 例2.正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______． 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　　 点，按顺时针方向旋转　　 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积． 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　　． 例5．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形． 　 例6．已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E， 若∠DAE：∠BAE=3：1，求∠EAC的度数． 例7.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF． 例8. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分(ABC，P是BD上一点，过点P作PM(AD，PN(CD，垂足分别为M、N。 (1) 求证：(ADB=(CDB； (2) 若(ADC=90(，求证：四边形MPND是正方形。 三、同步练习 一、选择题 1.两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（ ） A. 一般平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ） A.12+12 B.12+6 C.12+ D.24+6如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连接BG．根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？（　　） 　 A．1＜∠2 B．1＞∠2 C．3＜∠4 D．3＞∠4 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=　　度． 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（　　）个． 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 1题图图图如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　） 　 A．14 B．15 C．16 D．17 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　） 　 A． 48 B． 60 C． 76