第5讲高等数学.doc

2 ．左、右极限 在函数极限的概念中，自变量 的变化趋向， x 可以从 x0的左、右两侧趋向于 x0但有时只需考虑 x 仅从x0的左侧趋向于x0（记成），或x仅从x0的右侧趋向于x0（记成） 若当时， f （ x ）无限趋近于常数 A ，则称 f （ x ）当时的左极限为 A ，记成 或 。 类似地，有 f （ x ）当时的右极限，记成或，以及 与。 函数 f （ x ）当（或）时的极限存在的充分必要条件，是函数的左、右极限均存在且相等，即 3 ．极限运算法则 （ l ） （极限的四则运算法则） 注意：上述记号“ lim ”下的自变量变化过程可以是、、、、、，但等号两端出现的必需是同一种。 （ 3 ） （复合函数的极限运算法则） 设函数 y = f[g （ x ）]是由函数 y = f （ u）与函数u = g （ x）复合而成， f [ g （ x）] 在点 x0 的某去心领域内有定义，若，，且存在当时，有 ，则 （二）极限存在准则和两个重要极限 1 ．夹逼准则和极限 准则I（数列情形）若数列且xn、yn、及zn满足条件： （n= 1 , 2 , 3 ，…）且则数列xn的极限存在且 准则I’（函数情形）若函数 f （ x ）、 g （ x ）及 h （ x ）满足条件： 利用准则I’，可得一个重要极限 2 ．单调有界准则和极限 准则II 单调有界的数列（或函数）必有极限。 利用准则II，可得另一个重要极限 其中 e 是一个无理数， e =2 . 71828 … … （三）无穷小的比较 设 a 及都是在同一个自变量变化过程中的无穷小,且0， lim 也是在这个变化过程中的极限。 若 lim =0，就称是比a高阶的无穷小，记作=（a）；并称a是比低阶的无 穷小； 若 lim =C 0，就称是与 a 同阶的无穷小； 若 lim =1, 就称是与 a 等阶的无穷小，记作a 。 关于等价无穷小，有以下性质： 若,且 lim 存在，则 当 x 0时，有以下常用的等价无穷小： （四）例题 一般地，对有理分式函数 其中P（ x ）、 Q （ x ）是多项式， 若（x）=Q（x0） 0,则 注意：若 Q （ x 0） = 0 ，则关于商的极限运算法则不能应用，需特殊考虑。 求 【 解 】 （x2- 9 ） = 0 ，不能应用商的极限运算法则。但分子、分母有公因子x-3,故 。 【 解 】 （ x2-5x+4）=0, （2x-3）= -1,故 从而 【例 l -2 -4】 求。 【 解 】 当 x 时，分子、分母都为无穷大，不能应用商的极限运算法则，但可先用 x3 去除分子、分母，故 【例1-2-5】 等于 （ A ） 1 （ B ） 0 （ C ）不存在且不是 （ D ） 【解】 由于=0，，按照“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”，故应选（B）, 注意不要与极限=1相混淆。 求。 求。 【 解 】 令 x＝- t ,则当 x 时，t 。于是 求。 求。 【解】当 x 0 时，tan2x 2x, sin5x 5x，所以 求。 【解】 当 x 0时，,cosx-1-,所以 等于 （ A ）2 （ B ） 0 （ C ） （ D ）不存在且不是 【解】 因为 所以 故极限不存在，且不是 ，应选（ D ）。 【 例 1 -2- 12 】 设f（ x ） = 2x＋ 3 x -2 ，则当 x 0 时，有 （ A ） f （ x ） 与 x 是等价无穷小 （ B ） f （ x ）与 x 同阶但非等价无穷小 （ C ） f （ x ）是比 x 高阶的无穷小 （D）f （ x ）是比 x 低阶的无穷小 【解】 所以应选（ B ）。 【 例 1 -2 -13 】 当 x 0 时， tanx - sinx 是x3的 （ A ）高阶无穷小 （ B ）低阶无穷小 （ C ）同阶但非等价无穷小 （ D ）等价无穷小 【解】 应选（ C ）。 注意：当 x O 时， tanx ~ x ，sinx ~x ，但不能得出 tanx - sinx ~ x - x = 0 ，从而得出上述极限为零，而选（ A ）。事实上，上面的计算结果表明 tanx- sinx~。由此可知，在利用等价无穷小求极限时，不能对分子或分母中的某个加项作代换，而应该对分子或分母的整体，或其中的无穷小的因子作等价代换，才不致出错。 【 例1-2-14 】 极限 lim （ 1 十 cosx ） 2secx 的值等于 （A）e （B）e2 （C）e-1