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因动点产生的等腰三角形问题
例1重庆市中考第25题
如图1,在△ABC中,ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=,求AB、BD的长;
(2)如图1,求证:HF=EF.
(3)如图2,连接CF、CE,猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.
图1 图2
思路点拨
1.把图形中所有30°的角都标注出来,便于寻找等角和等边.
2.中点F有哪些用处呢?联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了.
满分解答
(1)如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AC=,所以AB=.
在Rt△ADH中,∠DAH=30°,AH=,所以DH=1,AD=2.
在Rt△ADB中,AD=2,AB=,由勾股定理,得BD=.
(2)如图4,由∠DAB=90°,∠BAC=60°,AE平分∠BAC,得∠DAE=60°,
∠DAH=30°.
在Rt△ADE中,AE=.在Rt△ADH中,DH=.所以AE=DH.
因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线,所以FA=FD,∠FAD=∠FDA.
所以∠FAE=∠FDH.所以△FAE≌△FDH.所以EF=HF.
图3 图4 图5
(3)如图5,作FM⊥AB于M,联结CM.
由FM//DA,F是DB的中点,得M是AB的中点.
因此FM=,△ACM是等边三角形.
又因为AE=,所以FM=EA.
又因为CM=CA,∠CMF=∠CAE=30°,所以△CMF≌△CAE.
所以∠MCF=∠ACE,CF=CE.
所以∠ECF=∠ACM=60°.所以△CEF是等边三角形.
考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图,看看有没有熟悉的感觉.
如图6,如图7,当点F落在BC边上时,点H与点C重合.
图6 图7
如图8,图9,点E落在BC边上.如图10,图11,等腰梯形ABEC.
图8 图9 图10 图11
例2长沙市中考第26题
如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2).
(1)求a、b、c的值;
(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.
图1
思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙,原来⊙P在x轴上截得的弦长MN=4是定值.
2.等腰三角形AMN存在三种情况,其中MA=MN和NA=NM两种情况时,点P的纵坐标是相等的.
满分解答
(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0.
将代入y=ax2,得.解得(舍去了负值).
(2)抛物线的解析式为,设点P的坐标为.
已知A(0, 2),所以>.
而圆心P到x轴的距离为,所以半径PA>圆心P到x轴的距离.
所以在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交.
(3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN.
在Rt△PMH中,,,所以MH2=4.
所以MH=2.因此MN=4,为定值.
等腰△AMN存在三种情况:
①如图3,当AM=AN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为0.
图2 图3
②如图4,当MA=MN时,在Rt△AOM中,OA=2,AM=4,所以OM=2.
此时x=OH=2.所以点P的纵坐标为.
③如图5,当NA=NM时,点P的纵坐标为也为.
图4 图5
考点伸展
如果点P在抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1),那么在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.这是因为:
设点P的坐标为.
已知B(0, 1),所以.
而圆心P到直线y=-1的距离也为,所以半径PB=圆心P到直线y=-1的距离.所以在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.
例3 上海市虹口区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的
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