向量法解二面角例题与练习题.docVIP

§向量法求二面角 例1（2010江西卷20）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求平面与平面所成的二面角的正弦值. 练习：1..若二面角的两个半平面的法向量分别为和，则这个二面角的余弦值是（ ） A.0 B. C. D. 2.（2011年全国新课标）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 课后作业： 1. .如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小为____________． 2. 如图，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成的角； (2)与平面所成角的正切值； (3)平面与平面所成的角． 4. (2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq \f(1,2)PD. (1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q -BP-C的余弦值． 5. (2012·天津改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PC⊥AD； (2)求二面角A-PC-D的正弦值． 6. 7. .正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B(如图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角． 8. 如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求异面直线AP与BC所成角的大小； （3）求二面角C—PA—B的大小. (2012·天津改编) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PC⊥AD； (2)求二面角A-PC-D的正弦值． [审题视点] 建立空间坐标系，应用向量法求解． 解　如图， 以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)， C(0,1,0)，B－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0，P(0,0,2)． (1)证明：易得eq \o(PC,\s\up6(→))＝(0,1，－2)， eq \o(AD,\s\up6(→))＝(2,0,0)． 于是eq \o(PC,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＝0，所以PC⊥AD. (2)eq \o(PC,\s\up6(→))＝(0,1，－2)，eq \o(CD,\s\up6(→))＝(2，－1,0)． 设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(CD,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－2z＝0，,2x－y＝0.))不妨令z＝1， 可得n＝(1,2,1)． 可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)． 于是cos〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m|·|n|)＝eq \f(1,\r(6))＝eq \f(\r(6),6). 从而sin〈m，n〉＝eq \f(\r(30),6). 所以二面角APCD的正弦值为eq \f(\r(30),6). 2 3.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA. (1)求证：PC∥平面EBD； (2)求平面PCD与平面PAB所成的角的大小(用反三角函数表示)． 课后作业: 4. 5. 6.(2010·安徽·理，18)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB； (3)求二面角B－DE－C的大小 7. 8. (2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD⊥平面AED； (2)求二面角F - BD- C的余弦值． 〖例〗如图，三棱锥P