排列组合中涂色问题常见方法及策略.doc

PAGE .. 排列组合中涂色问题的常见方法及策略 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。 区域涂色问题 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ ② ② ① ③ ④ 分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。 例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 ①② ① ②2 ③ ④ ⑤ ⑥ （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有； 所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120 例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色 24 2 4 3 1 5 区域3与5必须同色，故有种； 当用四种颜色时，若区域2与4同色， 则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 12 1 2 3 4 四格涂不同的颜色，方法种数为； 有且仅两个区域相同的颜色，即只 有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为 ； 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为， 因此，所求的涂法种数为 根据相间区使用颜色的种类分类 ABCDEF A B C D E F 解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时， 有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法， 此时，B、D、F各有3种着色方法故有 种方法。 （2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有种着色方法，此时B、D、F有种着色方法，故共有种着色方法。 （3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有种方法。 故总计有108+432+192=732种方法。 说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。 点的涂色问题 方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论 （2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。 例6、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。 若恰用五种颜色染色，有种染色法 综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。 解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有 种染色方法。 由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论： SCDA S C D A B 由乘法原理，总的染色方法是 解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， 对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 解答略。 线段涂色问题 对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色， 主要方法有：（1）根据共用了多少颜色分类讨论 （2）根据相对线段是否同色分类讨论。 例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，