运用欧拉定理求解足球面数问题.docVIP

运用欧拉定理求解足球面数问题 问题：如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且每个顶点连接三条棱，问五边形和六边形的个数？ 问题：如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且每个顶点连接三条棱，问五边形和六边形的个数？ 准备过程：我们刚刚学过欧拉定理：V+F-E=2，其中V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数。 解答： 我们设五边形的个数为x个，六边形的个数为y个。 面的计算。同学们，我们做好假设后是不是可以很快的写出面的个数呢？对面的个数是x+y,我们记作F=x+y eq \o\ac(○,1). 棱的计算。 同学们我们先看红色 同学们我们先看红色的棱，紫薇老师已经给大家画出来了，它既相邻一个五边形又相邻一个六边形，再来看绿色的棱，它既相邻上面的六边形又相邻下面的六边形。其他的每一条棱是不是都是这样？我们再看，我们假设红棱和绿棱各有两个，剩下的棱我们也这样想它，这样做以后我们还是不是可以把这个足球分成x个分离的五边形和y个分离的六边形呢？ 这些分离的五边形和六边形的总棱数我们能不能算出来呢？对了，是5x+6y,同学们我们刚刚是不是又说过每一条棱都算了两遍呢？那把5x+6y再除以2是不是这个足球的总棱数呢？ 我们记作E= eq \o\ac(○,2) 点的计算。我们观察这个足球上的所有五边形，同学们有没有发现，五边形的五个点覆盖了这个足球的所有顶点，所以我们是不是可以用5x来表示这个足球的所有定点的个数呢？ 我们记V=5x eq \o\ac(○,3). 其实顶点数还有一种表示方法，怎么表示呢来看 题目告诉我们一个顶点相邻三条棱，同学们看左图：我们设有 题目告诉我们一个顶点相邻三条棱，同学们看左图：我们设有m个顶点，那是不是会有3m条棱和它相邻。同时同学们要注意每一条棱是不是相邻两个顶点，也就是说为了围顶点，我们是不是把每一条棱用了两遍，那现在我们给3m除以2是不是这个足球的所有棱数，而棱数我们已经算出了了是，他是不是应该和相等，进而得到V= eq \o\ac(○,4) 于是带入欧拉公式：F+E-V=2 (本文中紫薇老师代入式1,2,3进行计算) 我们得到 4y= eq \o\ac(○,5) 我们得到一个关于x,y的一元一次方程，但不足以让我们解出x,y的值，我们还需要其他的条件。 我们继续观察：在求足球的顶点数时我们从五边形的角度去观察，我们现在来看下六边形。同学们看到这个足球的所有顶点都被五边形覆盖，且没有重复； 我们继续观察：在求足球的顶点数时我们从五边形的角度去观察，我们现在来看下六边形。同学们看到这个足球的所有顶点都被五边形覆盖，且没有重复；我们从六边形的角度出发，发现这个足球的所有顶点也都被六边形覆盖，但是有重复，怎么重复呢？ 大家看老师用黄色的线圈出来的那个顶点，它既在上面那个六边形中，又在下面那个六边形中，也就是说每一个顶点被覆盖了两遍，如果我们用6y表示所有六边形的顶点总数，那么给他除以2就应该是这个足球中的所有顶点数，我们又讲这个足球中的顶点数是不变的，于是我们有5x==3y eq \o\ac(○,6) 我们将式5,6联立，得到： x=12 y=20 本题得解。