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一、向量有关知识复习 (1)向量共线的充要条件: 与 共线 (2)向量垂直的充要条件: (3)两向量相等充要条件: 且方向相同。 (4)平面向量基本定理 二、应用向量知识证明平面几何有关定理 例1、证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量 ,即 。 即 ,∠ACB=90° 思考:能否用向量坐标形式证明? 二、应用向量知识证明平面几何有关定理 例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B D C 已知:平行四边形ABCD。 求证: 解:设 ,则 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 其它线段对应向 量用它们表示。 ∴ 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例3、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点 F A B C D E A B C D E H 分析: 思路一:设AD与BE交于H,只要证 CH⊥AB,即高CF与CH重合,即CF 过点H 由此可设 利用AD⊥BC,BE⊥CA,对应向量垂直。 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例3、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点 A B C D E H 解:设AD与BE交于H, 即高CF与CH重合,CF过点H,AD、BE、CF交于一点。 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例4、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N, 在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q, 使MQ=CM。求证:P、A、Q三点共线 A B C N M Q P 解:设 则 由此可得 即 故有 ,且它们有 公共点A,所以P、A、Q三点共线 四、应用向量知识证明等式、求值 例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起, 使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求△AEM的面积 A B C D M N E F 分析:如图建立坐标系,设E(e,0),M(8,4), N是AM的中点,故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,2) 解得:e=5 故△AEM的面积为10 四、应用向量知识证明等式、求值 例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起, 使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求△AEM的面积 A B C D M N E F 解:如图建立坐标系,设E(e,0),由 正方形面积为64,可得边长为8 由题意可得M(8,4),N是AM的 中点,故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,2) 解得:e=5 即AE=5 四、应用向量知识证明等式、求值 练习:PQ过△OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB 求证: 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点,利 用向量坐标知识进行求解。 O A B G · P Q 由PO=mOA, QO=nOB可知: O分 的比为 ,O分 的比为 由此可设 由向量定比分点公式,可求 P、Q的坐标,而G为重心,其坐标也可求出,进而 由向量 ,得到 m n 的关系。 -m -n ? ? 四、应用向量知识证明等式、求值 练习:PQ过△OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB 求证: O A B G · P Q 证:如图建立坐标系, 设 所以重心G的坐标为 由PO=mOA, QO=nOB可知: 即O分 的比为-m,O分 的比为-n 求得 由向量 可得: 化简得: 五、小结、巩固练习: 练习1:证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形 练习2:如图O为△ABC所在平面内一点,且满足 求证:AB⊥OC A B C O ; 武汉装修公司哪家好 武汉装修设计公司 武汉
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