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素数定理随笔
SCIbird
本文献给数学大师高斯
本文试图介绍猜测素数定理的一种思路,以及简单的解析证明。尽管看起
来有些事后诸葛亮的感觉,但确实是一种认识素数定理的途径,希望本文能够
给读者以启迪。
约定p 始终代表素数,z , s 表示复数。记π(x) 表示不超过x 的素数的个数,
所谓素数定理,指下面极限表达式
π(x)
lim =1
x→∞ x / ln x
本文主要围绕这个表达式来谈谈自己的一些心得体会。应该指出,上述结论
已经有严格的数学证明(包括初等证明),但本文重点是给出一条探索素数的途
径,文章中主要以近似和形式推导为主,大胆猜测,严格证明。
通过原始的数值计算来观察π(x) 的分布规律是常见的思维方法,见下表:
表格出自华罗庚的《数论导引》
x dt
其中,函数Li x =∫2 ln t (这是一个非初等积分)由高斯所发现,是π(x) 的另
一个渐进表达式。由洛比达法则可知
Li x
lim =1
x→∞ x / ln x
函数li x 按如下方式定义
⎛ 1−η x ⎞dt
li x =lim ⎜⎜ + ⎟⎟
η→0 ⎝ ∫ ∫ ⎠⎟
0 1+η ln t
显然Li x =li x −li 2 .
从上表可以看出,利用li x 作为π(x) 的渐进函数,效果比x / ln x 要好一些,
不过本文的主角其实是函数Li x .
素数作为整数的基础,自古以来备受数学家们的重视。首先,素数有无穷
多个。其次,素数又非常少,即π(x) / x →0 . 第三,素数的分布似乎毫无规律,
总的来看很稀疏,偶尔有集聚现象。
所以当人们证明π(x) 的极限情况有很简单的渐进表达式x / ln x 时,还是感
到很神奇。据称,素数定理、费马大定理和哥德巴赫猜想是 20 世纪初数论中的
三大著名猜想,而且素数定理当时的名气最大。
我们主要沿着高斯的发现途径Li x 来找到突破口,这里面也包含很多后来
人的工作。与前人思路不同高斯不是简单研究π(x) 的数值分布特点,而是考察
比值π(x) / x 的分布特点,猜测是否有简单函数ϕ(x) 来近似代替。
按数学家迪厄多内的说法,高斯考虑(x , x +1000) 内的所有素数,通过大量
的计算,高斯从数值表中观察到,当x 很大时,有下面的近似性质:
π(x +1000) −π(x) 1
正比于
1000 ln x
数值计算表明,用Li x 来近似表示π(x) ,效果不错。
这一深刻的发现一方面包含高斯辛勤的计算劳动,同时体现了高斯的敏锐
直觉。另一方面,直观上也不难理解高斯的发现,笔者当初第一感觉是高斯似
乎在寻找素数分布的某种概率分布 (笔者下意识想到了正态分布),正确地说,
高斯是在寻找素数的某种密度函数分布(近似表达式)。
同一时期,法国数学家勒让德(此人数学上经常与高斯撞车)也发现了素
数分布近似关系π(x) ~ x / (ln x −B) ,其中B 是一个常数
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