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《数值分析》教学大纲(新)
( HYPERLINK /link?url=C7Gzy0OYpQoFGeGlU7m_d-YdSpyPcbonzKYjkgc1uu4a-tvxegmv3f94KfRukang_uf1GOSqPy9VPiwU8kuB_ak7DbkSjZzytV2-KPMuDEO6B3P9-z_pIwv77m7WFeNJ \t /_blank Numerical Analysis)
适用专业:全校工科专业
课程性质:学位课
学 时 数:48学时
学 分 数:3学分
课 程 号:
开课学期:第1学期
大纲执笔人:杨帆
大纲审核人:欧志英
一、课程的地位和教学目标
数值分析是全校研究生的一门重要学位课,工科研究生应该掌握数值分析的基本知识和方法,
主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖,起点较高,并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习,使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析,提高算法设计和理论分析能力,并且能够根据数学模型,提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。
二、课程教学内容和基本要求
(一)数值分析引论(Introduction)(3学时)
教学重点、难点:
重点:理解有效数字和误差的概念,理解离散化方法与递推化方法。
难点:有效数字和误差的关系,递推化方法的编程实现。
教学内容和基本要求
1、数值分析课程的特点
了解数值分析的四个特点。即:面向计算机,可靠的数学理论分析,良好的计算复杂性,可进行数值实验。
2、有效数字;
理解有效数字概念,掌握有效数字确定的方法;
3、误差的概念,和误差的求解。
理解误差的基本概念,了解误差的各种来源,会误差估计;基本要求:
(二)非线性方程求根(Solving Nonlinear Equations)(5学时)
教学重点、难点:
重点:二分法,迭代法,牛顿法和割线法求解非线性方程。
难点:迭代法的收敛性和误差分析以及迭代加速。
教学内容和基本要求
1、二分法
掌握二分法及其收敛性。
2、迭代法的基本理论
迭代法的基本思想和收敛性判别定理以及误差分析。
3、迭代加速技术。
掌握迭代加速技术的基本思想和Aitken加速公式。
4、牛顿法及其割线法
掌握牛顿法和割线法及其收敛性。
线性方程组的直接解法(Direction Solving Linear Systems) (5学时)
教学重点、难点:
重点:线性方程组的高斯消元法以及LU分解法。
难点:利用向量和矩阵的范数进行误差分析。
教学内容和基本要求
1、高斯消元法
掌握顺序高斯消元法和选列主元高斯消元法
2、LU分解法
掌握LU分解法。
3、误差分析
掌握向量和矩阵的范数,利用这两类范数进行误差分析。
(四)线性方程组的迭代解法(Iterative Method for Solving Linear Equations) (5学时)
教学重点、难点:
重点:三种经典迭代法的构造。
难点:迭代法的收敛性和误差分析
教学内容和基本要求
1、迭代法的一般理论
掌握迭代公式的构造和迭代法的收敛性和误差分析。
2、三种经典迭代法
掌握雅可比和高斯-塞德尔以及逐次超松子这三类迭代法求解线性方程组的迭代格式。
(五)插值法与最小二乘拟合(Interpolation, Curve Fitting and Polynomial Approximation)(10学时)
教学重点、难点:
重点: 拉格朗日和牛顿插值法以及最小二乘法。
难点:三次样条插值
教学内容和基本要求
1、插值法的基本理论
了解插值多项式的概念,插值基函数以及插值误差。
拉格朗日插值法
掌握利用拉格朗日基函数构造拉格朗日插值多项式以及误差分析。
3、牛顿插值法
掌握差商的概念,利用差商构造牛顿插值公式。
Hermit插值及分段插值
掌握构造Hermit插值的方法。
三次样条插值
掌握三次样条插值函数的构造方法。
曲线拟合的最小二乘法
掌握最小二乘方法和最佳平方逼近方法。
(六)数值积分和数值微分(Numerical Differentiation and Integration)(10学时)
教学重点、难点:
重点:复化的求积公式和变步长求积公式。
难点:龙贝格求积公式
教学内容和基本要求
几个常用的求积公式
掌握插值型求积公式以及代数精度。
复化求积公式
掌握复化梯形公式和复化的新普生公式。
3、高斯求积公式
掌握高斯求积公式。
数值微分
掌握两点和三点公式。
(七)常微分方程数值解法(Numerical Sol
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