2019年《数值计算法方法》实验指导书.docVIP

PAGE PAGE 5 《数值计算法方法》实验指导书 TOC \h \z \t 标题 2,1 HYPERLINK \l _To实验一 插值法 PAGEREF _To\h 3 HYPERLINK \l _To实验二 曲线拟合的最小二乘法 PAGEREF _To\h 6 HYPERLINK \l _To实验三 矩阵的特征值和特征向量 PAGEREF _To\h 9 HYPERLINK \l _To实验四 数值积分 PAGEREF _To\h 12 实验一 插值法 实验目的 1．掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。 2．对四种插值结果进行初步分析。 实验内容 插值问题的提法是： 给定函数在中互异个点的函数值或 求函数使其在处与相等。称为的插值函数，为插值区间，为插直节点，为被插函数。 拉格朗日插值 插值基函数：为次多项式 插值基函数的性质： （1） （2） （2）为插值节点唯一确定的次多项式。 （3）拉格朗日插值所包含基函数个数与插值节点个数相同。 牛顿插值 线性插值可用插商形式表示为 由差商的定义知 ………… 将上式依次代入得： 取 所以 且 分段低次插值 给定函数在中互异个点的函数值，若要求的近似函数，可求一分段函数，使其在每一小区间上为线性插值函数，即 称为分段线性插值，即用折线代替曲线。 样条插值 区间的一个划分 上函数满足： （1）在为次多项式。 （2）及其阶导数在区间连续，则为区间上对应于划分的次多项式样条，为样条节点，为内点，称为外点。 三、实验任务 已知函数满足： 0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5 0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206 用分段线性插值； 分段二次插值； 拉格朗日插值。 已知 x 2 4 6 8 y 1 3 5 7 构造差商表，求牛顿差值函数。 四、实验报告 实验报告应包括以下内容： （1）题目； （2）写出算法设计思想； （3）程序清单； （4）运行的结果； （5）所得图形； （6）四种插值的比较； （7）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。 实验二 曲线拟合的最小二乘法 一、实验目的 1．了解最小二乘法的定义。 2．掌握求解最小二乘法的方法。 二、实验内容 1．多项式拟合 设已知点 。求次多项式来拟合函数 设，求使 最小 所以 即 得线性方程组： 2．指数拟合 对已知点在坐标纸上描点，若近似于一条指数曲线，则考虑用指数函数来拟合数据，即求使 最小，由于是非线性方程，求解复杂。 又因为 所以为直线可用一次多项式拟合求出。 3．线性最小二乘法的一般形式 设已知点。取线性无关基函数 构造 使 为加权系数 求驻点 即 令 三、实验任务 1．试用最小二乘法求形如的多项式，使以下列数据拟合 x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.4 49.1 73.3 97.5 2．用最小二乘法求形如的经验公式，使其与数据 x 1 2 3 4 y 2.5 3.4 4