《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》.doc

《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 第 PAGE \* Arabic \* MERGEFORMAT 24 页第 PAGE \* Arabic \* MERGEFORMAT 24 页 线性规划的简单应用和实现 浙江省杭州二中 李宇骞 摘要 线性规划在实际生活中应用非常广泛，已经创造了无数的财富。但是它在竞赛中的应用很少。然而，我相信它的潜力很大，所以在这里向大家简单地介绍了线性规划的一些应用，以及如何实现解线性规划，以抛砖引玉，希望线性规划能够在竞赛中如同网络流一样熠熠生辉。 本文主要分三部分，第一部分简单地介绍了线性规划，给出了其定义；第二部分给出了一些简单的应用，以及一个线性规划的经典应用——多物网络流；第三部分是用单纯形（Simplex）算法实现解线性规划。 由于对大多数竞赛选手而言，写一个线性规划的程序比构造一个模型更为恐怖（虽然难度可能不及），并且单纯形法不是多项式级别的，不实践很难知道它的速度到底怎么样，所以本文着重于第三部分，较详细地描述了一些实现的细节，以及简单的证明，并且对单纯形法的运行速度做了一些实验，还与专业的数学软件MATLAB和LINDO做了对比，从一定程度上说明了单纯形法的速度是卓越的。同时，200行左右的程序可以让大家不必那么担心编程的复杂度，某些情况下，100行左右的程序就足够了。 关键字 线性规划（Linear programming） 单纯形法（Simplex） 多物网络流（Multicommodity flow） 引言 “随著强有力的算法的发展与应用,线性规划能解决的问题也越来越来多。在历史上，没有哪种数学方法可以像线性规划那样，直接为人类创造如此巨额的财富，并对历史的进程发生如此直接的影响。” 孙捷，这位曾经执教于清华大学的美国华盛顿大学博士如此评价线性规划。他还举了这样一个实例： 在波斯湾战争期间，美国军方利用线性规划，有效地解决了部队给养和武器调运问题，对促进战争的胜利，起了关键的作用。难怪人们说，因为使用炸药，第一次世界大战可说是「化学的战争」；因为使用原子弹，第二次世界大战可说是「物理的战争」；因为使用线性规划，波斯湾战争可称为「数学的战争」。 线性规划在实际生活当中的威力已毋庸质疑，但是在信息学竞赛中，他的光芒还没有闪耀在我们的眼前，让我们通过学习和了解，去渐渐感受它的光彩。 正文 第一部分 简介与定义 我们会遇到很多这样的问题：他们需要使目标最大化或者最小化；他们通常面临资源或者其它方面上的限制，或者必须在某些方面进行取舍而不能兼顾。如果这些问题的目标可以表示成一个线性的函数，它们的限制或者取舍可以表示成一些线性的等式或者不等式，那么我们就可以将这些问题描述成线性规划的问题。 首先来看一个实例： 假如你要竞选市长。要当上市长，你必须有5万的城市居民的投票、10万郊区居民的投票以及2.5万农村居民的投票。 你有以下四种方案使你获得更多的投票： 1.建设道路 2.加强枪支管制 3.发放农业津贴 4.减免油税 农村郊区城市－ 农村 郊区 城市 －2 0 10 减免油税 10 0 0 农业津贴 －5 2 8 枪支管制 3 5 －2 建设道路 比如第一行第一列-2代表在建设道路上每增加1万元的支出，会减少2千人的城市居民选票；第一行第二列5表示在建设道路上每增加1万元支出，会增加5千人的郊区居民选票；第二行第三列表示在枪支管制上每增加1万元支出，会减少5千人的农村居民选票。 你要用最少的支出来获得足够的选票当上市长，假设初始时，你的投票数都为0。 这个问题的目标是要求开支最小，它的限制是选票必须达到最低限制，取舍关系是为了增加一个区域的居民投票而在一个项目上投资，可能会造成其它区域的居民投票减少。当然，这个问题还有一些潜在的限制，比如支出不能为负。 下面，我们把它描述成一个线性规划问题： 假设4种项目的支出分别为x1、x2、x3、x4万元， 目标：最小化x1+x2+x3+x4（总支出最小） 限制： -2x1+8x2+0x3+10x4 = 50（城市居民） 5x1+2x2+0x3+0x4 = 100（郊区居民） 3x1-5x2+10x3-2x4 = 25（农村居民） x1, x2, x3, x4 = 0（开支不可能为负） 那么到底什么是线性规划呢？我们来看定义。 线性规划：在满足一些线性等式或者不等式的条件下，最优化一个线性函数。 线性函数：给定一些实数：a1, a2, …, an和一些变量x1, x2, …, xn，这些变量的线性函数f是f(x1, x2, …, xn) = a1x1+a2x2+…+anxn= 线性等式或者不等式：如果f(x1, x2, …, xn) 是一个线性函数，那么 f(x1, x2, …, xn) = b