《双曲线及其标准方程》.pptVIP

2.2.1《双曲线及其标准方程》 教学目标 知识与技能目标 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 思考当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？ 问题1：椭圆的定义是什么？ 平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做 椭圆。 问题2：椭圆的标准方程是怎样的? ， ， 关系如何？ 问题3：如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点 的轨迹会发生怎样的变化？ 1.双曲线的定义： 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 2.标准方程的推导 ① 建系 使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线。 O ② 设点 设 是双曲线上任一点， 焦距为 ，那么 焦点 又设点 与 的差的绝对值等于常数 。 ③ 列式 即 ④化简 两边同除以 得 得 代入得 这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在 轴上 焦点在 轴上的双曲线的标准方程是什么？ 3.两种标准方程的比较 ① 方程用“－”号连接。 ② 分母是 但 大小不定。 ③ 。 ④如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。 判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。 答案： （1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。 （2） 是否表示双曲线？ 表示焦点在 轴上的双曲线； 表示焦点在 轴上的双曲线。 表示双曲线，求 的范围。 答案： 。 1.已知双曲线两个焦点分别为 ，双曲线上一点 到 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点在轴 上，所以设它的标准方程为 因为 ，所以 ，所以 因此，双曲线的标准方程为 小结：求标准方程要做到先定型，后定量。 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在轴 上， ； ②焦点在在轴 上，经过点 . 答案: ① ② 设双曲线的标准方程为 代入点 得 令 则 解得 故所求双曲线的标准方程为 2.已知A，B 两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。 分析： 假设爆炸点为P，爆炸点距A地比B地远； 爆炸点P的轨迹是靠近B处 的双曲线的一支。 A B P 解：建立如图所示的直角坐标系 ，使 两点在 轴上，并且坐标原点 与线段 的中点重合。 设爆炸点 的坐标为 ，则 ，