微分方程专科.ppt

* i0 i 0 t ? 1 di/dt 0 发展趋势 * 用matlab计算例子 l=0.4 s=0.81 1-1/s=-0.25 i0=0.2(上图);0.1(下图) ezplot(1/(-4+9*exp(1/10*t)),0,100)(上图) ezplot(‘1/(6+4*exp(-1/15*t))’,0,100)(下图) * 模型的意义: 传染病机制解释 传染病终趋消失的条件——? 1: 感染因素弱于治疗因素 传染病无法消亡的情况——? 1: 感染因素强于治疗因素 * 微分方程建模步骤 根据建模目的和问题分析作简化假设 根据函数及其变化率之间的关系建立 方程 定解条件 按照正确方法解微分方程 讨论解的性质 * 方程建模应注意 物理量纲： 在等式两边中应注意物理单位相同，比例系数有时也是有量纲单位的 列出定解条件： 定解条件是系统在某一特定时刻或(和)边界上的信息。独立于方程，用以确定有关通解中的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和方程一起列出。 * 微分方程的进一步分析 对初值、参数依赖性的灵敏度分析 可能会引起解的较大变化，也可能不大影响解的值 对求解过程中的误差控制有一定的要求 方法可以写出解对初值、参数的导数公式并作讨论；或用不同初值、参数求解，并作比较 对有平衡态的情况，作稳定性分析 可参考任何一本比较详细的常微分方程教科书 模型检验 * 措施效果预测 * 灵敏度分析 * * 药物模型 I 假设：单位时间药物浓度减速与现有浓度成正比 记号：t 时刻的浓度 i(t)---函数 建模 负指数增长模型 图像 * * 例二、鱼雷击舰问题 问题: 如图所示,一敌舰在某海域内沿正北方向航行时, 我方战舰恰位于敌舰正西方1海里处, 我舰向敌舰发射制导鱼雷. 敌舰速度为0.42海里/分钟,鱼雷速度为敌舰速度的2倍, 鱼雷的运行方向始终指向敌舰. 试问敌舰航行多远时将被击中? * 建 模 目 的 研究 x、y 随 t 变化的关系 假设： 鱼雷的运行方向始终指向敌舰 设敌舰速度v0、鱼雷速度v为常数 记号:(建立坐标系后) 敌舰速度为 v0；t 时刻敌舰的位置为 (1, v0t) 鱼雷速度为 v=2 v0 ；t 时刻鱼雷的位置为 (x, y) 模型假设与记号 * 1. 建立微分方程模型 * 解模 * 2. 模型求解 问题解答: 当 x=1 时, y=2/3, 时间 t=y/v0 =1.59 分=95.24秒时鱼雷 击中敌舰. * Matlab求解 dsolve(D2u=sqrt(1+(Du)*(Du))/2/(1-t),u(0)=0,Du(0)=0) ans = 1/3*i*(2+t)*(-1+t)^(1/2)+2/3 -1/3*(2+t)*(1-t)^(1/2)+2/3 * 3. 建立计算机模拟模型 鱼雷的初始位置(0,0); tk时刻鱼雷的位置为(xk , yk), 运动方向的方向角a; tk时刻敌舰的位置为(1, v0tk), 初始位置(1,0) * 计算机模拟 * 计算机模拟敌舰: 第 k 秒 x y 2 1 0.0140 4 1 0.0280 6 1 0.0420 8 1 0.0560 10 1 0.0700 12 1 0.0840 14 1 0.0980 16 1 0.1120 18 1 0.1260 20 1 0.1400 22 1 0.1540 24 1 0.1680 第 k 秒 x y 72 1 0.5040 74 1 0.5180 76 1 0.5320 78 1 0.5460 80 1 0.5600 82 1 0.5740 84 1 0.5880 86 1 0.6020 88 1 0.6160 90 1 0.6300 92 1 0.6440 94 1 0.6580 * 计算机模拟鱼雷: 第 k 秒 x y 2 0.0280 0.0004 4 0.0560 0.0012 6 0.0840 0.0024 8 0.1119 0.0040 10 0.1398 0.0061 12 0.1677 0.0086 14 0.1956 0.0116 16 0.2233 0.0151 18 0.2511 0.0190 20 0.2787 0.0235 22 0.3063 0.0285 24 0.3337 0.0340 第 k 秒 x y 72 0.8994 0.3670 74 0.9150 0.3903 76 0.9294 0.4143 78 0.9426 0.4390 80 0.9546 0.4643 82 0.9653 0.4903 84 0.9747 0.5166 86 0.9826 0.5434 88 0.9891 0