2003年―2010年山西省压轴题.docVIP

PAGE PAGE 15 2003年—2010年山西省压轴题 1. (2003年14分） 如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N。 （1）若，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式。 （2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究： <1>四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明。 <2>经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由。 1 解：（1）在中， 在中， 点（2分） 又 点（4分） 设MP的解析式为 经过M、N两点 得 解之，得 的解析式为（6分） 设过M、N、B的抛物线解析式为 且点，可得 抛物线的解析式为 即（8分） （2）<1>四边形OMCB是矩形。（9分） 证明：在⊙A不动、⊙B运动变化过程中， 恒有 ，而，（10分） 由切线长定理知MC＝MP， 四边形MOBC是平行四边形。（11分） 又，四边形MOBC是矩形。（12分） <2>存在。由上证明可知 因此在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在 由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称 这样得到满足条件的三角形有两个，和（14分） 2（2004年14分） 已知次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P. 求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系 中画出该二次函数的图象； 设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标； 在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆 10-112-1 1 0 -1 1 2 -1 -2 4 -3 2 3 5 -2 3 x y （第28题） 在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（1）解：∵二次函数的图象过点A（-3，6），B（-1，0） 得 解得 ∴这个二次函数的解析式为：……（4分） 由解析式可求P（1，-2），C（3，0）（5分） 画出二次函数的图象…（6分）1 1 1 -1 -2 4 -3 2 3 0 5 6 E M′ -1 -2 2 3 A C x T y B D M F S G H P （第28题） （2）解法一：易证：∠ACB=∠PCD=45° 又已知：∠DPC=∠BAC ∴△DPC∽△BAC………（8分） ∴ 易求 ∴ ∴ ∴…（10分） 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD.（8分） ∴. 易求：AE=6，EB=2，PF=2 ∴ ∴ ∴（10分） （3）存在. （1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T ∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG=MH=OM……（11分） 又∵且OM+MC=OC ∴ ∴…（12分） （2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′+OC=M′C， 得 ∴M′………（14分） 即在x轴上存在满足条件的两个点. 说明：只写出M、M′的坐标，没有过程的，不得分. 3．（2005年14分) 如图，在平面直角坐标系xOy，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y=x2+如+c经过点C且与直线AC只有一个公共点． (1)求直线AC的解析式． (2)求抛物线y=x2+bx+c的解析式． (3)点P为(2)中抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使△PQB∽△ADB?若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由． 3．解：（1）故直线AC的解析式为 y=-x-1 (2)∵抛物线过C(0，-1)点 x2+(b+1)x=0 ∵直线AC与抛物线只有一个公共点C， ∴方程x2+(b+1)x=O有两个相等实数根， 即△=O ∴b1=b2=-1 ∴．抛物线解析式为y=x2-x-1 (3)假设存在符合条件的点P 设P点坐标为(a，a2-a-1)，则Q(a，0) ∵△ADB为等腰Rt△POB∽△ADB 则△PQB为等腰Rt△，又PQ⊥QB ∴PQ=QB 即|a2-a-1|=|a-1