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§3 非正常积分
I 基本概念与主要结果
一 无穷积分
1 定义
设函数 在无穷区间 上有定义,且在任何有限区间 上可积,如果存在极
f (x ) [ , )a +∞ [ , a]u
限
u
lim f ( x) dx ∫a J , (1)
→+∞
u
则称此极限J 为函数 在 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记作
f (x [) , )a +∞
+∞
J f x dx ∫a ( ) ,
+∞ +∞
并称 收敛。若(1)式极限不存在,则称 发散。
f∫ax (dx) f∫ax (dx)
类似可定义 在 上的无穷积分:
f (x () , ]−∞ b
b b
( ) lim f( x) dx. f x dx
∫ ∫
−∞ →−∞ u
u
对于 在 上的无穷积分,定义为
f ((x ) , )−∞+∞
+∞ a +∞
f ∫x (dx) f ∫x (dx) f ∫x (dx) + a , (2 )
−∞ −∞
其中a 为任意实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才收敛。
注 无穷积分(2 )的收敛性与收敛时的值,都与a 的选取无关。
2 无穷积分收敛的性质
+∞
性质 1 (柯西收敛准则)无穷积分 收敛的充要条件是:
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