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第六章 级数理论
§1 数项级数
I 基本概念
一 数项级数及其敛散性
{ }
定义 1 给定一个数列 u ,对它的各项依次用“+ ”号连结起来的表达式
n
u u u+ ++ + (1)
1 2 n
∞
称为数项级数或无穷级数,简称级数,记为∑un ,其中un 称为数项(1)的通项.
n 1
n
n n
数项级数(1)的前 项之和,记为 ,称之为(1)的前 项部分和,简称为
S un ∑ k
k 1
部分和.
{ } S
定义 2 若级数(1)的部分和数列 S 收敛于 (即 ),则称级数(1)收
Slim S
n n
n
→∞
∞
S { }
敛,并称 为(1)的和,记为 .若 S 是发散数列,则称级数(1)发散.
S u ∑ n n
n 1
二 收敛级数的基本性质
1 收敛级数的柯西收敛准则
级数(1)收敛的充要条件是:∀ε>0 ∃N >0 n ∀N> +
, , ∀,p ∈Z ,有
u + u + + u < ε .
n+1 n+2 n p+
∞
2 级数收敛的必要条件:若级数 a 收敛,则 .
∑ n lim 0 an
→n∞
n 1
3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.
4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和(正项级数
亦如此),即收敛级数满足结合律.
5 若级数适当加括号后发散,则原级数发散.
6 在级数中,若不改变级数
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