10(7.8)傅里叶级数-正弦-余弦级数解析.ppt

傅里叶(Fourier)级数 上有定义; (3) F(x)可展为傅氏级数; 注 作 法 傅里叶(Fourier)级数 对于非周期函数, 如果 f (x)只在区间 上有定义, 并且满足狄氏充分条件, 也可展开成 傅氏级数. (1) f (x) 在 (周期延拓); 级数收敛于 解 例2 将函数 展开为傅氏级数. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 计算傅里叶系数 傅里叶(Fourier)级数 所给函数在区间 满足狄氏充要条件, 收敛于 f (x). 偶函数 奇函数 傅里叶(Fourier)级数 所求函数的傅氏展开式为 利用傅氏展开式求级数的和 傅里叶(Fourier)级数 为周期的傅氏级数的和函数S(x)在 上的 解 S(x) = 傅里叶(Fourier)级数 表达式. 例3 1. 周期为2l的周期函数 对于周期为2l的周期函数，可利用函数系 将它展开为Fourier级数，即有下列定理 傅里叶(Fourier)级数 四、任意区间上的Fourier级数 2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 狄利克雷(德)1805-1859 (收敛定理) 傅里叶(Fourier)级数 其中傅里叶系数 傅里叶(Fourier)级数 若x为f的第一类间断点，则 例4 将函数 展开成傅里叶级数. 里叶级数. 代入(5)式, 得 这里 当 和±5 时级数收敛于 由奇函数与偶函数的积分性质 系数的公式, 易得下面的结论. 和傅里叶 此时称傅里叶级数为 (sine series) 正弦级数, 傅里叶(Fourier)级数 sine series and cosine series 五、正弦级数和余弦级数 它的傅里叶系数为 此时称傅里叶级数为 注 将函数展为傅里叶级数时, 先要考查函数 是非常有用的. 是否有奇偶性, (cosine series) 余弦级数, 傅里叶(Fourier)级数 它的傅里叶系数为 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 奇函数 傅里叶(Fourier)级数 设 f (x)是周期为 的周期函数,它在 例5 上的表达式为 将 f (x)展开成傅氏级数. f (x)的图形 傅里叶(Fourier)级数 和函数图象 正弦级数 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 * 无穷级数 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 小结 思考题 作业 (傅氏级数Fourier series) 问题的提出 第七-八节 傅里叶(Fourier)级数 正弦级数或余弦级数 第十一章 无穷级数 上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数. 下面研究另一种重要的函数项级数: 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的. 它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用. 傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和物理学家. 法国科学院院士,英国皇家学会会员. 傅里叶 级数. 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时, 1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用了三角级数. 用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角 1777年,欧拉在研究天文学的时候, 级数时的系数, 也就是现今教科书中傅里叶级数 的系数. 大胆地采用了 历史朔源 三角级数表示函数: 微分方程是分不开的. 析学的发展. 形所采用的三角级数方法进行加工处理, 1753年, 的解表示为三角级数的形式, 这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 促进了分 在历史上, 丹?贝努利首先提出将弦振动方程 1822年, 傅里叶在《热的解析理论》一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的， 特殊的情 发展成 一般理论. 三角级数的出现和发展 与求解 傅里叶(Fourier)级数 一、问题的提出 在自然界和人类的生产实践中, 周而复始 的现象, 周期运动是常见的. 如行星的飞转, 飞轮的旋转, 蒸气机活塞的 往复运动, 物体的振动, 声、光、电的波动等. 数学上,用周期函数来描述它们. 最简单最基本 的周期函数是 谐函数 周期 振幅 时间 角频率 初相 简谐波 简谐振动 正弦型函数 傅里叶(Fourier)级数 如矩形波 不同频率正弦波 除了正弦函数外, 常遇到的是非正弦周期函数, 较复杂的周期现象 逐个叠加 分解 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 傅里叶(Fourier)级数 设想 一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解 为简谐振动的迭加