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Chapter1 线性规划 (Linear Programming) 1. 规划问题 1. 理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2. 定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方案； 3. 用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标； 4. 用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件 3. 套裁下料问题 4. 配料问题 解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。 线性规划问题的求解方法 LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用 本章主要内容： 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.） 1.1 数学模型 Mathematical Model 生产计划问题 人力资源分配问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题 1. 生产计划问题。 例：某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、D四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？ 12 16 8 12 有 效 台 时 3 4 0 2 2 乙 2 0 4 1 2 甲 利润（元） D C B A 设 备 产 品 思考： 1、问题要求什么？ 确定变量！ 2、目标是什么，如何用变量表示？ max Z = 2x1 + 3x2 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 s.t. 2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 解: 设x1、x2分别为甲、乙产品的产量，数学模型为： 建模过程 2.人力资源分配问题 例：某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。 表1-2 营业员需要量统计表 商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。 400 四 550 日 350 三 600 六 300 二 480 五 300 一 需要人数 星期 需要人数 星期 解: 设xj(j=1，2，…，7)为星期j 开始上班的营业员人数，则这个问题的线性规划模型为 400 四 550 日 350 三 600 六 300 二 480 五 300 一 需要人数 星期 需要人数 星期 注：也可设xj(j=1，2，…，7)为星期j 开始休息的营业员人数，两种模型解相同。 0 550 >= 550 C7 17 X7 7 0 600 >= 600 C6 120 X6 6 0 480 >= 480 C5 97 X5 5 0 400 >= 400 C4 170 X4 4 0 350 >= 350 C3 146 X3 3 1 300 >= 301 C2 67 X2 2 104 300 >= 404 C1 0 X1 1 最优解： Z＝617（人） 2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。 怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 例：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？ 解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。 0.2 0.3 0.4 0.5 料头 6 0 Ⅳ 4 2 0 1.3m 1 2 3 2.5m Ⅲ Ⅱ Ⅰ 设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型： 例：某人每天食