[高等教育]14克莱姆法则.pptVIP

第一章 行列式 　上　课 * 手机 关了吗？ 复习：行列式按某行(列)展开定理及推论 ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i≠s) a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0 (j≠t) 推论 综合定理及推论得: n个未知量n个方程的线性方程组, 在系数行列式不为零时的行列式解法, 称为克莱姆(Cramer)法则. 设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组 或表示为 1.4 克莱姆(Cramer)法则 定理1 设线性非齐次方程组(*)的系数行列式 则(*)有唯一解 其中, ( j＝1, 2, …, n) 即: ( j＝1, 2, …, n) 第一章 行列式 证明: (1)是解. (2)解唯一. (1)将 代入(*)左端, (*) ＝bi ( i＝1, 2, …, n) [注] (j=1,2,…,n) 又将Dj按第j列展开，得 第一章 行列式 (2)若有一组数x1, x2 ,…, xn满足(*), 则 ＝D1 同理 Dx1＝ Dxj＝Dj 注:用克莱姆法则解线性方程组的条件—— 或表示为 齐次线性方程组: 齐次线性方程组必有零解 有否非零解？ (1)方程个数＝未知量个数 (2)系数行列式D≠0 方程个数≠未知量个数及D＝0的情形以后讨论 定理2 齐次线性方程组 当 时只有零解, 没有非零解. 定理3 齐次线性方程组 有非零解, 则 注: 定理3说明D＝0是齐次线性方程组有非零解的 必要条件. 后面将证明也是充分条件.即： 齐次线性方程组 有非零解 D≠0 D＝0 (定理2的逆否命题) 同理 D1=81, D2=－108, D3=－27, D4=27 ∴ x1=3, x2=－4, x3=－1, x4=1 例1 解线性方程组 解: =27≠0 =－ 例2 k取何值时, 线性方程组 解: 有唯一解? ＝6(2－k)≠0 ∴k≠2时方程组有唯一解 例3 问 取何值时, 齐次线性方程组 解: 有非零解的充分必要条件D＝0 有非零解? 由D＝0得 例4 (03考研) 已知齐次线性方程组 其中 试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时, (1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解. D≠0 D＝0 第一章 行列式 解 每行元素之和相同，2——n列加至首列 ∴(1)b≠0且 时方程组仅有零解； (2) b＝0或 时方程组有非零解. 第一章 行列式 例5 (96考研) 解方程组 其中 ai≠aj (i, j =1,2,…,n) 解 ≠0 ∵ai≠aj (i≠j) 易见 D1=D, D2=D3=…=Dn=0 ∴x1=1, x2=x3=…=xn=0 方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关. 线性代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结论.为了明确一些结论成立的条件. 引入数域概念: 定义 设F是一数集, . 若F中任意两个数(可以相同)的和、差、积、商(除数不为0)仍然是F中的数, 即F对四则运算封闭, 则称F为一个数域. 全体整数组成的集合不是数域, 有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域, 分别称为有理数域、实数域和复数域. 本课程的数域F均指实数域R或复数域C, 其它数域在本课程中不进行深入讨论. 注：关于数域概念 习题课——行列式计算方法小结： 利用行列式的定义； 化三角形法； 拆行(列)法； 4. 按某一行(列)或某k行(列)展开； 5. 数学归纳法； 6. 利用范德蒙行列式的结论； 7. 递推法； 8. 加边法(升阶法)。 解: =(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)(-2-2) =72 D0=576, D1=-72, D2=-144, D3=72 ∴a0=8, a1=-1, a2=-2, a3=1 思考题 已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四个点x=±1, x=±2处的值f(1)= f(-1)= f(2)=6， f(-2)=-6，试求其系数a0, a1, a2, a3. D= y=f(x)=8-x-2x2+x3 复习 Ch 1 作业：P33： 10(2), 11, 12, 13 做《练习卷》 (下次习题课带来) ＝a11+a12+…+a1n +a21+a22+…+a2n +an1+an2+…+ann + … ＝