计算机应用数学教案7-2.doc

《计算机应用数学》教案 授课对象 系 别 课时安排 2 年级班次 章节题目 第7章 7.2 一阶微分方程（7.2.2-7.2.3） 教学目标 掌握求齐次微分方程和一阶线性微分方程的方法. 教学重点 齐次微分方程和一阶线性微分方程 教学难点 齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法 教学方法 讲授法 教学用具 黑板、粉笔、多媒体 新 课 导 入 1、如何求微分方程的通解？ 2、如何求微分方程的通解？ 重 点 与 难 点 讲 解 方 法 重点讲解方法： 深入浅出地将齐次微分方程和一阶线性微分方程的使用条件和求解方法讲述清楚，达到使学生对其有一个实质性的理解. 难点讲解方法： 采用“讲练结合”的方法，首先老师讲解经典例题，阐述可分离变量微分方程的适用条件和求解方法，然后学生课堂练习，最后老师进行点评. 教 学 小 结 知识小结 1、齐次微分方程； 2、一阶线性微分方程. 教后札记 改进措施 课 后 作 业 习题7-2 1.（1） 2. 3.（6）（7）（10） 4.（4）（5） 教学过程： 一、知识回顾 微分方程的概念和可分离变量微分方程的求法. 二、新课导入 1、如何求微分方程的通解？ 2、如何求微分方程的通解？ 三、新课内容 1、齐次微分方程 定义7.10 形如的微分方程，称为齐次微分方程，其特点是右边函数的变量为的形式. 齐次微分方程的解法： 第一步：令，则，； 第二步：将代入微分方程，得； 第三步：分离变量，得； 第四步：两边积分，得； 第五步：求出积分并回代，得原微分方程的通解. 2、一阶线性微分方程 定义7.11 形如的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中为自由项.所谓“线性”是指未知函数和导数都是一次的. 当时，方程称为一阶线性齐次微分方程；当时，方程称为一阶线性非齐次微分方程. 下面我们讨论一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法. 1）一阶线性齐次微分方程 将变形为 ， 分离变量，得 ， 两边积分，得 ，即， 整理，得 （其中为任意常数）. 这就是一阶线性齐次微分方程的通解公式. 2）一阶线性非齐次微分方程 显然，是的特殊情况. 不妨设的通解中的，使成为的通解，则将代入，得 ， 即 ， 两边积分，得 ， 将上式代入，得 . 【例题精讲】 例1 求微分方程的通解. 解：令，则，， 于是原微分方程可化为 ， 分离变量，得 ， 两边积分，得 ，即， 整理，得 （其中）， 回代，得 ，即， 所以，该微分方程的通解为. 例2 求微分方程的通解. 解：将该微分方程变形为 . 令，则，， 于是原微分方程可化为 ，即， 分离变量，得 ， 两边积分，得 ，即， 整理，得 ， 回代，得 ，即， 所以，该微分方程的通解为. 例3 求微分方程的通解. 解法一：先求其对应的一阶线性齐次微分方程的通解. 将其变形，得 ， 分离变量，得 ， 两边积分，得 ，即， 整理，得 （其中）， 所以，微分方程的通解为. 再用常数变易法求一阶线性非齐次微分方程的通解. 令，则，，将和代入，得 ， 即 ， 两边积分，得 ， 将上式代入，得 ， 所以，微分方程的通解为. 解法二：该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，可知，，代入通解公式，得 . 例4 求微分方程的通解. 解：将原微分方程变形，得，显然这是一阶线性非齐次微分方程，可知，，代入通解公式，得 . 【课堂练习】 例1 求微分方程满足初始条件的特解. 解：将该微分方程变形为 . 令，则，， 于是原微分方程可化为 ，即， 分离变量，得 ， 两边积分，得 ，即， 整理，得 ， 回代，得 ， 将代入通解，得，所以，该微分方程的特解为. 例2 求微分方程满足初始条件的特解. 解：该微分方