北京海淀区2013届高三第一学期期末考试数学(理)试题(1).doc

4 - - - 1 - 北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题 2013.1 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数化简的结果为 A. B. C. D. 2.已知直线（为参数）与圆（为参数），则直线的倾斜角及圆心的直角坐标分别是 A. B. C. D. 3.向量, 若,则实数的值为 A. B. C. D. 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出 的的值分别为 A. 　　 B. C. 　　 D. 5.如图，与圆相切于点，直线交圆于两点， 弦垂直于. 则下面结论中，错误的结论是　 Ａ.∽ B. C. D. 6.数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 用数字组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. B. C. D. 8. 椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 以为渐近线且经过点的双曲线方程为______. 10.数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____. 11. 在的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________. 13. 点在不等式组 表示的平面区域内， 若点到直线的最大距离为，则 14. 已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则______________;关于的方程的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分） 已知函数，三个内角的对边分别 为. （I）求的单调递增区间； （Ⅱ）若，求角的大小. 16.（本小题满分13分） 汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表: A型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2 B型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5 （I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率； （Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由. 17. （本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，， 是中点. （I）求证：平面； （II）若棱上存在一点，满足，求的长； （Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. （本小题满分13分） 　　　已知函数 （I） 当时,求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间. 19. （本小题满分14分） 已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点. （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标； （Ⅱ）已知为原点，求证：为定值. 20. （本小题满分13分） 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为. (Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围； (Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出， 求证：； (Ⅲ)定义集合 请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明