高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第二章 2.4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（附答案）.docVIP

2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义 预习课本P103～105，思考并完成以下问题 (1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？ (2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？ (3)向量数量积的性质有哪些？ (4)向量数量积的运算律有哪些？ eq \a\vs4\al([新知初探]) 1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积： 已知条件 向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ 定义 a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ 记法 a·b＝|a||b|cos θ (2)零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为0. [点睛]　(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定． (2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式． 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ. ②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ. (2)数量积的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． [点睛]　(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成eq \f(a·b,|a|). (2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 3．向量数量积的性质 设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角． (1)a⊥b?a·b＝0. (2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|， 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. (3)a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2). (4)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|). (5)|a·b|≤|a||b|. [点睛]　对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直． 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [点睛]　(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． eq \a\vs4\al([小试身手]) 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) (3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.(　　) (4)若a·b＝0，则a⊥b.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若|a|＝2，|b|＝eq \f(1,2)，a与b的夹角为60°，则a·b＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(1,4) 答案：B 3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)b))＝－36，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 答案：B 4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3. (1)若θ＝135°，则a·b＝________； (2)若a∥b，则a·b