2014年考研数学二真题与解析.docx

2014 年考研数学二真题与解析 一、选择题 1 — 8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1 １．当 x 0 时，若 ln (1 2 x) ， (1 cosx) 均是比 x 高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（ ） （ A） (2, ) （B ） (1,2) （C） ( 1 ,1) （D） (0, 1) 2 2 1 ~ 11 2 2 1 【详解 】ln (1 2 x) ~ 2 x ，是 阶无穷小， (1 cosx) x 是 阶无穷小， 由题意可知 2 2 1 所以 的可能取值范围是 (1,2) ，应该选（ B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （ A ） y x sin x （ B） y x 2 sin x （ C） y x sin 1 （ D） y x 2 sin 1 x x 【详解 】对于 y x sin 1 ，可知 lim y 1 且 lim ( y x) lim sin 1 0 ，所以有斜渐近线 y x x x x x x x 应该选（ C） 3．设函数 f ( x) 具有二阶导数， g( x) （ A）当 f ' ( x) 0 时， f ( x) （ C）当 f ( x) 0 时， f ( x)  f (0)(1 x) f (1) x ，则在 [0,1] 上（ ） g( x) （ B）当 f ' ( x) 0 时， f ( x) g( x) g( x) （ D）当 f ( x) 0 时， f ( x) g( x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解 1】如果对曲线在区间 [a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 g( x) f (0)(1 x ) f (1)x 就是联接 (0, f (0)), (1, f (1)) 两点的直线方程． 故当 f ( x) 0 时，曲线是凹 的，也就是 f ( x) g( x) ，应该选（ D） 【详解 2】如果对曲线在区间 [a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F ( x) f ( x) g( x) f ( x) f (0)(1 x) f (1) x ，则 F (0) F (1) 0 ，且 F " ( x) f " ( x) ，故当 f ( x) 0 时， 曲线是凹的，从而 F ( x) F ( 0) F (1) 0 ，即 F ( x) f ( x) g( x) 0 ，也就是 Page 1 of 11 更多考研资料分享 +qq1032419714 f ( x) g( x) ，应该选（ D ） 4．曲线 x t 2 7, 上对应于 t 1的点处的曲率半径是（ ） y t2 4t 1 （Ａ） 10 （Ｂ） 10 (Ｃ） 10 10 （Ｄ） 5 10 50 100 【详解 】 曲线在点 ( x, f ( x )) 处的曲率公式 K y" ，曲率半径 R 1 ． (1 y' 2 ) 3 K 2t 4 2 ， d 2 y 2 1 ， 本题中 dx 2t, dy 2t 4 ，所以 dy 1 t 2 dt dt dx 2t t dx2 2t t3 对应于 t 1的点处 y' 3, y" 1，所以 K y" 1 1 10 10． (1 y' 2 )3 10 10 ，曲率半径 R K 应该选（ C） 2 5．设函数 f ( x) arctan x ，若 f ( x) xf ' ( ) ，则 lim x 2 （ ） x 0 （Ａ） 1 （Ｂ） 2 （Ｃ） 1 （Ｄ） 1 3 2 3 【详解 】注意（ 1） 1 0时 ,arctan x 1 3 3 f ' ( x) 1 x2 ，（ 2） x x 3 x o( x ) ． 由于 f ( x) xf ' ( ) ．所以可知 f ' ( ) 1 f ( x) arctan x ， 2 x arctan x ， 1 2 x x (arctan x) 2 2 x arx tan x x ( x 1 x 3 ) o( x 3 ) 1 lim lim 3 x 2 lim 2 x 3 ． x 0 x 0 x(arctan x) x 0 3 6．设 u( x, y) 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 2 u 0 及 x y 2u 2 u 0 ，则（ ）． x2 y2 （ A） u( x, y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上； （ B） u( x, y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部； （ C） u( x, y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上； Page 2 of 11 更多考研资料分享 +qq1032419714 （ D） u(