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尚孔教育个性化辅导
尚孔教育个性化辅导教案 教学设计方案
PAGE 3
培养孩子终生学习力
教师姓名
学生姓名
年 级
上课时间
学 科
数学
课题名称
正弦、余弦和正切函数的图像及其性质
教学目标
正弦函数与余弦函数及正切函数的定义域、值域及图像的画法。
正弦函数与余弦函数及正切函数的单调区间。
正弦函数与余弦函数及正切函数的周期。
三角函数的综合应用。
教学重难点
知识点归纳
正弦、余弦和正切函数的图像及其性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)
(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0) (,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.
(2)也同样可用五点法作图:y=cosx x?[0,2?]的五个关键点是
(0,1) (,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
2、正弦函数和余弦函数的性质
(1)定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R
(2)值域
正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]
其中正弦函数
①当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值1
②当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1
余弦函数
①当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1
②当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1
(3)周期性
一般地,对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期
由此可知,2π,4π,……,-2π,-4π,……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π
(4)奇偶性
由sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx可知y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数
∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
(5)单调性
正弦函数在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1
余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1
3、函数的图像及其性质
(1)“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,五个特殊点通常都是取三个平衡点,一个最高、一个最低点;
(2)给出图象求的解析式的难点在于的确定,本质为待定系数法,基本方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由平衡点或最值点确定周期,进而确定.
(3)对称性
函数对称轴可由解出;
对称中心的横坐标是方程的解,对称中心的纵坐标为.
函数对称轴可由解出;
对称中心的纵坐标是方程的解,对称中心的横坐标为.
(4)时,,当时,有最大值,
当时,有最小值;时,与上述情况相反.
4、正切函数的图像和性质
(1)定义域:,
(2)值域: ,当时,
当时
(3)周期性:
说明:函数的周期
求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为1的形式,否则很容易出现错误。
(4)奇偶性:奇函数,对称中心是
特别提醒:正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图像与轴的交点,另一类是渐近线与轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。
(5)单调性:在开区间内,函数单调递增。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
5、余切函数的图像及其性质
,即将的图像,向左平移个单位,再以x轴为对称轴上下翻折,即得的图像
定义域:
值域:R,当时,当时
周期:
奇偶性:奇函数
单调性:在区间上函数单调递减
6、三角函数的最值
求三角函数最值的常用方法有:
(1)型函数最值的求法
利用辅助角公式,化为,其中;
(2)型
常通过换元法转化为型,然后再通过配方法求解;
(3)型
① 转化为型(1);
② 转化为直线的斜率求解;
③ 利用万能公式换算,转化成一元函数的最值问题。
(4
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