数据结构与算法 二维背包问题.pptVIP

* 二维背包问题 郭晓玲2000044042 梁思敏2000044012 李黎薇2000044080 江悦嫦2000044018 黎 敏2000044028 李 希2000044031 梁安福2000044058 课本讨论的背包问题只有一种限制，即旅行者所能承受的背包的重量（亦即重量不能超过akg）.但是实际上背包除受重量的限制外，还有体积的限制，这就是不但要求旅行者的背包的重量M不能超过a（kg），还要求旅行者背包的体积V不能超过b（m3）,我们把这样的问题称为“二维背包问题”。 所谓“二维”是指在用动态规划处理时，它的状态变量有两个因素: 一个是重量，一个是体积。 二维背包问题的条件可概括为下表 cn cn-1 …… cj …… c2 c1 单位价值 bn bn-1 …… bj …… b2 b1 单位体积（m3） an an-1 …… aj …… a2 a1 单位重量（kg） n n－1 …… j …… 2 1 物品 编号 二维背包问题可以归纳为如下形式的 整数线性规划问题： max{c1x1+…+cixi+…+cnxn} a1x1+…+aixi+…+anxn≤a b1x1+…+bixi+…+bnxn≤b xi为非负整数，i=1，…，n 正如课本叙述的一维背包问题那样， 二维背包问题也可以用动态规划求解。 例 蛇口码头有一艘载重量为30t，最大容为12×10m3的船，由于运输需要,这艘船可用于装载四种货物到珠江口，它们的单位体积,重量及价值量见下表: 4 7 4 D 3 2 2 价值量 6 4 5 重量（t） 3 C 6 B 2 A 体积（10m3） 现求如何装载这四种货物使价值量最大。 解：设 xi（i=1，2，3，4）分别表示装载 这四种货物的数量 阶段k：将可装入的货物按1，2，…,n排序， 每 阶段装一种货物，共分为 n个阶段。 本题n＝4。 状态变量Sk+1，Rk+1:在第k段开始时，背包 允许装入的前k种物品的总重量和体积 状态转移方程：Sk=Sk＋1-akxk Rk＝Rk+1-bkxk f j（ Sk ， Rk ）等于当背包中允许物品总重量不超过Sk （㎏）,且总体积不超过Rk （m3）,采取最优策略只装前j种物品时的最大使用价值（j=1，2，…，n）。 maxz = 2x1+2x2+3x3+4x4 4 7 4 D 3 2 2 价值量 6 4 5 重量（t） 3 C 6 B 2 A 体积（10m3） 2x1+6x2+3x3+4x4 ≤ 12 S.t 5x1+4x2+6x3+7x4≤ 30 xi为非负整数（i=1，2，3，4） 根据题意我们有： 用动态规划逆序法求解如下： 当k=4时 f4(12,30) = max{2x1+2x2+3x3+4x4} 2x1+6x2+3x3+4x4 ≤ 12 5x1+4x2+6x3+7x4 ≤ 30 xi为非负整数（i=1，2，3，4） = max {4x4 + max ( 2x1+2x2+3x3)} 12-4x4≥0 2x1+6x2+3x3+4x4 ≤ 12 30-7x4≥0 5x1+4x2+6x3+7x4≤ 30 x4 为非负整数