数据结构与算法方格取数.docVIP

方格取数 （一）问题描述 设有N＊N的方格图（N≤8），我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）： 向右 A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 13 0 0 6 0 0 3 0 0 0 0 7 0 0 0 4 0 0 0 14 0 0 0 0 向 下 5 0 21 0 0 0 4 0 0 6 0 0 15 0 0 0 0 0 7 0 14 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 B 某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。 此人从A点到B点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。 输 入 输入的第一行为一个整数N（表示N＊N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。 输 出 只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。 样 例 输入 8 2 3 13 2 6 6 3 5 7 4 4 14 5 2 21 5 6 4 6 3 15 7 2 14 0 0 0 输出 67 问题分析 本题是从1997年国际信息学奥林匹克的障碍物探测器一题简化而来，如果人只能从A点到B点走一次，则可以用动态规划算法求出从A点到B点的最优路径。具体的算法描述如下：从A点开始，向右和向下递推，依次求出从A点出发到达当前位置（i，j）所能取得的最大的数之和，存放在sum数组中，原始数据经过转换后用二维数组data存储，为方便处理，对数组sum和data加进零行与零列，并置它们的零行与零列元素为0。易知 sum[i，j]= data[i，j] 当i=0或j=0 sum[i，j]= max（sum[i-1，j]，sum[i，j-1]）+ data[i，j] 当i>0,且j>0 求出sum数组以后，通过倒推即可求得最优路径，具体算法如下： 置sum数组零行与零列元素为0 for i:=1 to n do for j:=1 to n do if sum[i-1,j]>sum[i,j-1] then sum[i,j]:=sum[i-1,j]+data[i,j] else sum[i,j]:=sum[i,j-1]+data[i,j]; i:=n; j:=n; while (i>1) or (j>1) do if (i>1) and (sum[i,j]=sum[i-1,j]+data[i,j]) then begin data[i,j]:=-1; i:=i-1 end else begin data[i,j]:=-1; j:=j-1 end; data[1,1]:=-1; 凡是被标上-1的格子即构成了从A点到B点的一条最优路径。 那么是否可以按最优路径连续走两次而取得最大数和呢?这是一种很自然的想法,并且对样例而言也是正确的,具体算法如下： 求出数组sum， s1:=sum[n,n]， 求出最优路径， 将最优路径上的格子中的值置为0， 将数组sum的所有元素置为0， 第二次求出数组sum， 输出s1+sum[n,n]。 虽然这一算法保证了连续的两次走法都是最优的，但却不能保证总体最优，相应的反 例也不难给出，请看下图： 图二按最优路径走一次后，余下的两个数2和3就不可能同时取倒了，而按图三中的非最优路径走一次后却能取得全部的数，这是因为两次走法之间的协作是十分重要的，而图2中的走法并不能考虑全局，因此这一算法只能算是“贪心算法”。虽然在一些情况下，贪心算法也能够产生最优解，但总的来说“贪心算法”是一种有明显缺陷的算法。 既然简单的动态规划行不通，那么看看穷举行不行呢？因为问题的规模比较小，启发我们从穷举的角度出发去思考，首先让我们来看看N=8时，从左上角A到达右下角B的走法共有多少种呢？显然从A点到B点共需走14步，其中向右走7步，向下走7步，共有=34