第4章-线性方程组.ppt

4.1 消元法 一. 线性方程组的一般形式 二. 线性方程组的初等变换 三. 矩阵、矩阵的初等变换、系数矩阵与增广矩阵 1. 矩阵的定义 2. 矩阵初等变换 四. 用消元法解线性方程组 4.2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法 上一节解 线性方程组（1）时的几个问题： k 阶子式 矩阵的秩 初等变换与矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 解的个数 4.3 线性方程组的公式解 m 个方程可以归结为 r 个方程 线性方程组的公式解 齐次线性方程组 齐次线性方程组的有关结论 4.4 结式和判别式 关于结式和判别式的几个定理 * 4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解4.4结式和判别式 线性方程组 第四章 线性方程组的一般形式 线性方程组的初等变换 矩阵、矩阵的初等变换、 系数矩阵与增广矩阵 用消元法解线性方程组 ( m 个方程 n个未知数 ( m, n > 0 ) ) 解线性方程组的例子（例1） 线性方程组的三种初等变换： 交换两个方程的位置； 2. 用一个不为零的数乘以某一方程； 3. 用一个数乘以某一个方程后加到另一个方程。 定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为另一个与 它同解的线性方程组。 系 数 常数 项 系 数 矩 阵 增 广 矩 阵 线性方程组的系数与常数项 表），叫做一个s 行 t 列的矩阵， 叫这个矩阵的元素。 定义1 由 st 个数 排成的一个 s 行 t 列的表（下 矩阵的表示：A，B，C，...、 等 定义2 ： 矩阵的三种行(列)初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换： 交换矩阵的两行(列)； 2. 用一个不为零的数乘； 3. 用一个数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行(列)。 几个问题： 1. 初等变换能把矩阵化为什么形式？ 2. 如何用矩阵的初等变换法解线性方程组？ 3. 线性方程组的解有哪几种情况？ 定理4.1.2 设A是一个m行n列的矩阵 通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式 进而化为以下形式： 这里 r ? 0 ，r ? m ，r ? n。 消元法及线性方程组解的三种情况 （A ,β）可以化为（常数项列不前移） 由定理4.1.2 知线性方程组的一般形式的增广矩阵 相应的线性方程组为 相应的线性方程组为 由上页方程组可以看出： 情形1：当 r < m ，而 不全为零时， 方程组无解。 情形2：当 r = m 或 r < m而 全为零时，方程组有 解。此时，原方程组与方程组(1)同解。 1.当 r = n 时，方程组有唯一解 , i= 1, 2, … n。 2.当 r < n 时，方程组有无穷多解，称为一般解(2)，其中 称为自由未知量，对其任意取一组值代入方程组(2)都 能得到方程组(2)也是原方程组的一个特殊的解。 消元法解线性方程组的步骤： 1. 写出增广矩阵； 2. 做行初等变换，化为行最简形。 具体解线性方程组时，一般不交换其增广矩阵的 3. 判断解的情况，有解的给出其唯一解或一般解。 此方法以及阶梯形矩阵和行最简型矩阵参见例2，例3题 列，定理中其所以这样做，是为了使结果容易叙述，有关 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1. 把（1）的系数矩阵（2）化为矩阵 （3）时， r 与（2）究竟有什么关系？ 它是否依赖于所做的初等变换？因为 一般来说不同的初等变换把（2）化为 不同的形如（3）的矩阵 。 2. 线性方程组（1）有解时，它的系数应 满足什么条件？ 3. 线性方程组（1）有没有公式解？ 定义1 在一个 m 行 n 列的矩阵中任意取 k 行 k 列（k≤m, k≤n）。位于这些行列交点处的元素所构成的 k 阶行列式叫做 这个矩阵的一个 k 阶子式 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个 矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵 矩阵的秩为零。 矩阵A的秩表示为：秩A 或R(A)。(rank) 几个问题： 1. 矩阵 的秩的范围？ （r≥0，r≤m，r≤n） 2. 若矩阵 的秩为r，则有没有一个r+1（或 r-1 ）阶的不 为零的子式？有没有可能所有的r-1阶子式都等于零？ 3. 讨论用定义求一般矩