【通用版】中考数学一轮复习微专题突破专题9.9 探究动点背景下的线段最值问题（解析版）.docVIP

PAGE 【通用版】中考数学一轮复习微专题突破 专题9.9 探究动点背景下的线段最值问题 【专题综述】 图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法: 1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解. 2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】 一、从动点所在特殊位置入手 图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点. 例1 如图1，在四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点(含端点，但点不与点重合)，点，分别为，的中点，则长度的最大值为. 分析 ，的长度随点，分别在线段，上运动而变化，点，分别为，的中点却保持不变.题设中与不变量，，无直接数量关系，但连结，则由三角形的中位线定理可知，如图1所示，从而可知最大时，最大.因为在线段上，当点与其端点重合时最大，如图2所示.此时，由勾股定理知，所以长度的最大值为. 例2 如图3，在⊙中，直径，是弦，，点是上的一个动点，点在⊙上，且.求长的最大值. 分析 点在运动时，，的位置和大小都变化，但，圆的半径不变，连结，则保持直角三角形不变. 在中， , 所以最小时的长的最大.由垂径定理知，此时点正好是的中点，如图4所示，点与点重合. 分析 连结. ∵， ∴为直角三角形. 又∵，，， ∴ 由勾股定理，得 即长的最大值. 二、从动点产生的特殊线段入手 在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案. 例3 如图5，在直角中，，，，为上(不与重合)一动点，过点分别作于点，与，则的最小值 . 分析 因为点在上运动时，于点，与，，所以四边形是矩形，且这些关系不变.连结，则，要求的最小值，就是求的最小值.显然当，即是斜边的高时，最小.又由勾股定理，得，根据三角形面积不变，得，解得，所以的最小值为. 例4 如图6，在圆上有定点和动点位于直径的异侧，过点作的垂线，与的延长线交于点.已知:圆半径为，，则的最大值是(). (A) (B)(C)(D) 分析 点在上运动时，的位置和大小会随之变化，但，保持不变，故有 ， ∴，即， 由，知，当最大时，取到最大值 易知，当经过圆心，即为圆的直径时，最大(此时是圆的切线). ∵圆半径为， ∴的最大值为, ∴. ∴的最大值，故选B. 三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手 某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化. 例5 如图7，中，，，. 是上的一个动点以为直径画圆与，相交于，两点，求的最小值. 分析 点在上运动，的位置改变引起圆的位置和大小变化，而所求的 值与不变量，以及的关系不明显. 连结，，构造含角的特殊等腰三角形，如图8所示，过点作垂足为，由圆周角定理可知 . 在中，由垂径定理可知.所以当最小时，的值最小，而，由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，此时线段最小. 在中， ，， ∴，即此时圆的直径为2. 在中， ∴， 即的最小值为. 四、从图形运动中相对保持不动的点入手 若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键. 例6 如图9，在中，，，，点，分别在轴、轴的正半轴上.当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动中的最大值是多少? 分析 当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，这样改变了的位置，点的位置也随之改变，的长度随之发生变化.虽然、的长度不变，但些相对不变的量与没有直接的关系. 仔细观察图9，是的斜边，长度不变，则点与其中点的连线段的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与有关. 于是，连结，则, 所以，当、、三点共线时值最大，即. 在中，，，. 则的最大值为:. 综上可知，解决动点背景下线段长度的