2010考研数学基础班讲义微积分第十七讲.doc

水木艾迪 电话：01082378805 地址：清华同方科技广场B 座503 室 第17讲 数项级数 (一) 级数的概念与性质 (二) 正项级数的判敛问题 (三) 任意项级数的判敛问题 (四) 综合例题 级数内容提要 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是数与函数的一种重要表示形式，也是研究函数 的一种重要方法。级数问题的基础是极限理论。数项级数、幂级数、傅里叶级数是我们研究的三 种基本级数。为了掌握好数项级数的有关内容，必须理解数项级数的有关概念，熟练掌握级数运 算的记号，掌握并运用收敛级数的基本性质及常见的判别法（比较、比值、根式、莱布尼兹、绝 对值），做到正确判断正项级数、交错级数及任意项级数的敛散性。 17．1 数项级数基本概念 17．1．1 定义与符号运算 ∞ 定义17.1： 设{u }是一个数列，则称表达式∑ = + + +LL u u u u n n 1 2 3 n=1 为一个数项级数，简称级数，其中 称为数项级数的通项（或一般项）。 u n n ∑ Sn u = k k=1 称为数项级数的前n项部分和。 n 级数的部分和记号 ∑ 与级数一般项 的运算关系是 Sn = u u k n k=1 S ， = n+ = S + u u 1 n n+1 n Sn ? S n?1 ∞ ∞ 定义17.2： 若级数∑ 的部分和数列 u {S }有极限，则称级数∑ 收敛， 极限值 u lim S = S n n n n n→∞ n=1 n=1 ∞ 称为此级数的和；当 S 不存在时,则称级数 u 发散。 lim ∑ n n n→∞ n=1 ∞ n ∑ n = ∑ = = 根据级数收敛的定义，其和为 u lim u limS S 。 k n n→∞ n→∞ n=1 k=1 例 17.1 几何级数(等比级数--尺度 1) ∞ ∑ 1 = + + + + + ax L L (a ≠ 0, x ∈R) . n? a ax ax2 axn?1 n=1 【解】 显然有, a(1? S = n ? 1 x ) n x , n = 1,2,L . 刘坤林 谭泽光 编 1 水木艾迪 电话：01082378805 地址：清华同方科技广场B 座503 室 a 1? xn a lim S ( ) a 当|x|< 1时, =lim = , 该级数收敛, 和为 n n ? ? → 1? x 1 x n →∞ ∞ 1 x 当|x|≥ 1时, lim S 不存在，该级数发散. n n→∞ 1 ∞ 例 17.2 级数∑ n=1 (n +1)(n + 2) 收敛, 其和为 1 2 。 【解】首先 (n 1 1 = ? +1)(n + 2) n +1 n 1 + 2 ，级数的部分和为 1 1 S = ? n ，于是 2 n + 2 ? 1 1 ? lim ? ? = S = lim ? n ? 2 + 2 n ∞ n→∞ → n ? 1 2 . ∞ 1 例17.3 数项级数 ∑arctan n n =1 2 2 的和为 π 4 。 分析：例 17.3 中利用拆项求数项级数部分和, 进一步直接求出级数的和, 这种方法也可以处理一 些比较复杂的级数问题。上述例题也可用这类方法。 【解】由三角函数的差角公式可得到 m (2n +1) ? 2n ?1) 1 m ( ∑ ∑ S = arctan = arctan m = + n + n ? 2n2 1 (2 1)( 2 1) n 1 n=1 m = ∑ [arctan(2n +1) ? arctan(2n n=1 = arctan(2m +1) ? arctan1 ?1)] = arctan(2m +1) ? π 4 ， 所以 lim m→∞ π S = ，故原级数的和为 m 4 π 4 。以上第三个等号用到差角公式。 17．2．2 收敛级数的性质 ∞ 性质1：（级数收敛的必要条件）若级数∑ 收敛，则 u limu = 0 。 n → n n ∞ n=1 ∞ 【证】设级数∑ u u = 收敛，则由 n n n=1 S ? 取极限得到 = n S S ? S limu lim( 1 ) = S ? S = 0 n?1 n n? → n n ∞ n→∞ 。 ∞ ∑ 注：项数列为无穷小量是级数收敛的必要条件，即当 lim u ≠ 0 时，级数 必然发散。值得 u n n n→∞ n=1 ∞ ∞ 1 注意的是，即使lim = 0 ，级数 u 也不一定收敛，例如调和级数 ∑ u ∑ n ∞ n n → n n n n =1 n=1 是发散的。 性质2 ( 充要条件 ): 刘坤林 谭泽光 编 2 水木艾迪 电话：01082378805 地址：清华同方科技广场B 座5