数项级数(1-74)知识分享.ppt

讨论级数 的敛散性 例 解 (1) 而 发散 , 据比较判别法的极限形式 知原级数发散 (2) 而 发散 , 据比较判别法知原级数 发散 判别级数 的敛散性 例 解 因为 所以 现 收敛 ? 原级数 收敛 定理 ( 达朗贝尔判别法 ) 设 是正项级数 , 当 n N 时 , an 0 , 且 (1) 如果 ρ 1 , 则 收敛 ; (2) 如果 ρ 1 , 则 发散 ; (3) 如果 ρ= 1 , 则对 的敛散性无明确结论 证明 (1) 取定 由 存在 N 0 , 当 n N 时有 现 收敛 ? 收敛 (2) 如果 ρ 1 , 则根据极限的性质 , 存在 N 0 , 使当 n N 时 , 有 从而有 ? 级数 发散 (3) 对于 p- 级数 而当 p 1 时 , 级数收敛 , 当 p ? 1 时级数发散 判别级数 的敛散性 例 解 当 a = 0 时 , 级数收敛 当 a 0 时 , 由 据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛 解 判别级数 例 的敛散性 由于 据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛 据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛 判别级数 的敛散性 例 解 定理 ( 柯西(cauchy) 判别法 ) 设 是正项级数 , 如果 则 (1) 如果 ρ 1 , 则 收敛 ; (2) 如果 ρ 1 , 则 发散 ; (3) 如果 ρ= 1 , 则对 的敛散性无明确结论 证明 (1) 由 对于 存在 N 0 , 使当 n N 时 , 有 据比较判别法知 , 收敛 讨论级数 的敛散性 例 解 据柯西判别法知 , 原级数收敛 证明 记 由 f ( t ) 连续单调减 , ? F(x)为 x 的单调增 函数 . 又 f (x) 单调减 定理 ( 积分判别法 ) 若存在单调下降的连续函数 f (x) 使 f (n) = an , 则 与广义积分 具有相同的敛散性 设 是正项级数 , 若 收敛 的部分和有上界 收敛 若 发散 , 由于 及 的部分和无界 发散 综上所述 , 与 具有相同的敛散性 讨论级数 的敛散性 例 解 取 , 则 且对任意 的 p? R , 当 x 充分大时 , f (x) 是非负且单调减的 . 当 p 1 时 , 收敛 收敛 当 p ? 1 时 , 发散 发散 判别级数 的敛散性 例 解 由于 据比较判别法知原级数收敛 讨论级数 的敛散性 例 解 又 有界 ? 存在 A 0 使 又 收敛 , 据比较判别法知原级数收敛 例 试证 , 若正项级数 收敛 , 则级数 也收敛 . 反之 , 若 收敛 , 问 是否 也收敛 ? 又若 an 单调下降且级数 收敛, 问级数 是否收敛 ? 解 (1) 因为 由 收敛 收敛 由比较判别法知