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课时素养评价 十五
平行直线与异面直线
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1, OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是
( )
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
【解析】选D.由于∠AOB与∠A1O1B1是空间角,不一定在同一平面上,如图①.
此时OB与O1B1不平行.
若这两个角在同一平面上时,如图②,OB∥O1B1且方向相同;如图③,OB与O1B1不平行.
综上所述,OB与O1B1不一定平行.
2.如果直线a和直线b是异面直线,直线c与a也是异面直线,那么直线b与c
( )
A.异面 B.相交
C.平行 D.三种情况都有可能
【解析】选D.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB所在直线为直线a,DD1所在直线为b.若CC1所在直线为c,则b∥c;若B1C1所在的直线为c,则b与c异面;若A1D1所在的直线为c,则b与c相交.
3.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形
( )
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.
4.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是 ( )
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形.
【解析】选ABC.由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以
△BCD∽△MEQ,故C说法正确.由三角形的中位线定理,知MQBD,NPBD,所以MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.?
【解析】题干图①中,GH∥MN,因此,GH与MN共面.图②中,G,H,N三点共面,但M?平面GHN,因此直线GH与MN异面.图③中,连接MG,GM∥HN,因此,GH与MN共面.图④中,G,M,N三点共面,但H?平面GMN,所以GH与MN异面.
答案:②④
6.已知在三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列四个结论:
①MN≥(AC+BD);②MN≤(AC+BD);
③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).
其中正确的是________.?
【解析】设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<(AC+BD),故④正确.
答案:④
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图,已知棱长为a的正方体中,M,N分别是棱CD,AD的中点.
(1)求证:四边形MNA1C1是梯形.
(2)求证:∠DNM=∠D1A1C1.
【证明】(1)如图,连接AC.
因为在△ACD中,M,N分别是CD,AD的中点,
所以MN是三角形的中位线,所以MN∥AC,MN=AC.
由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1,
所以MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,
所以四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又ND∥A1D1,
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补,而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角.
所以∠DNM=∠D1A1C1.
8.(14分)一块长方体木块如图所示,要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开,应该怎样画线?
世纪
【解析】在平面A1B1C1D1内,经过点P作EF∥B1C1,且交A1B1于E,交D1C1于F;连接BE,CF,则BE,CF即为平面与长方体侧面的交线.要满足题意,只要沿BE,EF,FC画线即可.如图所示.
(15分钟·30分)
1.(4分)以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是 ( )
【解析】选C.本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断,仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A,
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