推荐数值计算方法第二章 线性方程组的数值解法.ppt

把分解法应用于解方程组，则 A x = b 化为等价方程 相应的求解公式为 31 例 2.5 试用 分解法求对称线性方程组 解 32 33 由此，可先由上三角形线性方程组 再由下三角形线性方程组 34 例 试用 Cholesky 分解法求对称线性方程组 解 35 由此，可先由上三角形线性方程组 再由下三角形线性方程组 36 2.3 向量范数与矩阵范数 定义 2.1 从向量到实数的实值函数满足下列 3 个条件称为 向量范数 ： 37 三个常用向量范数： 38 定义 2.2 设 ||· || 是 R n 上向量范数， A 为 R n × n 中的矩阵， 称 矩阵范数 。 三个常用矩阵范数为 39 第二章 线性方程组的数值解法 2.1 消去法 2.2 矩阵分解法 2.3 向量与矩阵范数 3.4 经典迭代法 1 给定一个线性方程组 A 为系数矩阵 ,b 为右端向量， x 为需 求解的未知向量。 2 直接法 ：按求精确解的方法运算求解， 有 Gauss 消去法及修正（矩阵分解法）等。 迭代法 ：给一个初始近似解 , 按一定法则 逐步求更精确的近似解的过程 ; 有经典与 现代迭代法 . 解线性方程组数值解法有两类： 3 2.1 Gauss 消去法 (Elimination Method) 2.1.1 三角形方程组的解法 三角形方程组是最容易求解的 , 而 Gauss 消去法 是把一般线性方程组化成两个三角形方程组来 求解的。现在考虑上三角形方程组 (2.1.1) 4 2.1.1 三角形方程组的解法 由于主对角元 , 所以 （ 2.1.1 ）的解是唯一的。由第 i 个方程得 (2.1.2) 5 同理对于下三角形方程组 (2.1.3) (2.1.4) 6 2.1.2 Gauss 消去法 初始增广矩阵为 (2.1.6) 第一步消元过程 : 假设 , 把第 1 列第 2-n 个元 素变成 0 . 7 (2.1.7) 8 计算公式为 第 2 步消元过程 : 假设 , 把第 2 列的后 n- 2 个元素变成 0 . 9 第 k 步消元过程 ：假设 前面 k-1 步消元得到如下形式 10 计算公式 (2.1.10) 与 (2.1.11) 11 第 n-1 步消元过程完得到 ： 经过上述消元过程后，原方程组化为一个和它完全等价的 上三角形方程组，用公式（ 2.1.2 ）得 12 例 2.1 试用高斯消去法求解线性方程组 消元过程为 解 13 即把原方程组等价约化为 通过回代解得 14 2.1.3 列主元 Gauss 消去法 在消元过程中，常出现主对角元绝对值较小或为 0 的情况，克服这 一困难的办法是 列主元消去法 。 列主元消去法的思想：每次消元过程先在当前变换的列元素中选绝 对值最大的为主元，并根据需要交换相关的行，然后再消元。 例 2.2 试用列主元消去法解线性方程组 15 解 . 用列主元高斯消去法 16 回代解得 17 2.2 矩阵分解法 2.2.1 、 三角分解法 对于给定的线性方程组 矩阵 Crout 分解法的基本思想是 ： （ 1 ） 分解 可逆下三角矩阵 可逆单位上三角矩阵 18 (2). 化成两个三角方程组 用 2.1.1 节公式先求 y 后解 x. 19 设已求出 U 的第 1 到 k-1 行于 L 到第 1 到 k-1 列元素 , 比较两 边第 k 列与第 k 行的元素 用待定系数法 , 通过比较 A=LU 的两端得求解公式 . 比较等式两边第 1 列和第 1 行元素得 20 比较第 k 列 , j=k,k+1, … ,n 21 比较第 k 行 , i=k+1, … ,n 22 再解 Ux = y 先解 Ly = b 23 例 2.4 试用 Crout 分解法解线性方程组 解 24 25 26 2.2.2 对称正定矩阵分解