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【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B版必修4
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分,时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,其中有且仅有一个是正确的.)
1.(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)向量a=(1,-2),b=(2,1),则( )
A.a∥b B.a⊥b
C.a与b的夹角为60° D.a与b的夹角为30°
[答案] B
[解析] ∵a·b=1×2+(-2)×1=0,∴a⊥b.
2.有下列四个命题:
①存在x∈R,sin2eq \f(x,2)+cos2eq \f(x,2)=eq \f(1,2);
②存在x、y∈R,sin(x-y)=sinx-siny;
③x∈[0,π],eq \r(\f(1-cos2x,2))=sinx;
④若sinx=cosy,则x+y=eq \f(π,2).
其中不正确的是( )
A.①④ B.②④
C.①③ D.②③
[答案] A
[解析] ∵对任意x∈R,均有sin2eq \f(x,2)+cos2eq \f(x,2)=1,
故①不正确,排除B、D;又x∈[0,π],eq \r(\f(1-cos2x,2))=eq \r(sin2x)=sinx,故③正确,排除C,故选A.
3.若向量a=(2cosα,-1)、b=(eq \r(2),tanα),且a∥b,则sinα=( )
A.eq \f(\r(2),2) B.-eq \f(\r(2),2)
C.±eq \f(\r(2),2) D.-eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] ∵a∥b,∴2cosα·tanα=-eq \r(2),即sinα=-eq \f(\r(2),2).
4.eq \f(tan105°-1,tan105°+1)的值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.-eq \f(\r(3),3)
C.eq \r(3) D.-eq \r(3)
[答案] C
[解析] eq \f(tan105°-1,tan105°+1)=eq \f(tan105°-tan45°,1+tan105°tan45°)=tan(105°-45°)=tan60°=eq \r(3).
5.函数y=(sinx+cosx)2+1的最小正周期是( )
A.eq \f(π,2) B.π
C.eq \f(3π,2) D.2π
[答案] B
[解析] y=(sinx+cosx)2+1
=1+2sinxcosx+1=2+sin2x.
∴最小正周期T=π.
6.设5π<θ<6π,coseq \f(θ,2)=a,则sineq \f(θ,4)的值等于( )
A.-eq \f(\r(1+a),2) B.-eq \f(\r(1-a),2)
C.-eq \r(\f(1+a,2)) D.-eq \r(\f(1-a,2))
[答案] D
[解析] ∵5π<θ<6π,∴eq \f(5π,4)<eq \f(θ,4)<eq \f(3π,2),
∴sineq \f(θ,4)<0,∴sineq \f(θ,4)=-eq \r(\f(1-cos\f(θ,2),2))=-eq \r(\f(1-a,2)).
7.设x、y∈R,向量a=(x,1)、b=(1,y)、c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.eq \r(5) B.eq \r(10)
C.2eq \r(5) D.10
[答案] B
[解析] ∵a⊥c,∴a·c=2x-4=0,∴x=2.
又∵b∥c,∴-4=2y,∴y=-2.
∴a=(2,1),b=(1,-2),
∴|a+b|=eq \r(32+?-1?2)=eq \r(10).
8.化简tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)的结果为( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
[答案] B
[解析] 原式=tan(27°-α)·tan(90°-(27°-α))·tan(49°-β)·tan[90°+(49°-β)]
=tan(27°-α)·cot(27°-α)·tan(49°-β)·[-cot(49°-β)]=-1.
9.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(5,4) D.1+eq \f(\r(3),4)
[答案] C
[解析] 原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°
=1+eq \f(1,2)sin30°=eq \f(5,4).
10.设△ABC的三个内角为A、B
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