1.2函数的极值公开课优质课比赛获奖课件.pptVIP

1.2函数的极值 高二数学 选修2-2 第三章 导数应用 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 复习:函数的导数与函数的单调性关系 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 设函数y=f(x) 在 某个区间 内有导数， f(x)为增函数 f(x)为减函数 如图(1),在包含 的一个区间 内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值。 如图(2),在包含 的一个区间 内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值。 ◆函数的极大值与极小值统称为极值. ◆函数的极大值点与极小值点统称为极值点. （1） （2） a b a b 提问：在本定义中要注意哪些要点？ （1）极值点是坐标平面内的一个点吗？ （2）极值点可能是区间端点吗？ （1）极值点是自变量的值，极值指的是函数值; （2）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. 观察函数 的图像,回答下面问题。 （1）找出函数的极大值点和极小值点？ （2）极大值和极小值是唯一的吗？ （3）极大值一定大于极小值吗？ o （1）极值是函数在一个适当区间内的局部性质,由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。 （2）函数的极值不一定唯一,即一个函数在某个区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。如图 、 都是极大值， 、 都是极小值。 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，从图中可以看出，函数的某个极大值有时候比极小值还小，如 ＜ 注　意 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系? o a x0 b x y o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f?(x) + 0 - f(x) x x0左侧 x0 x0右侧 f?(x) + 0 - f(x) 增 增 减 减 极大值 极小值 f ?(x)0 y x O x1 a b y=f(x) 极大值点两侧 极小值点两侧 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 探究:极值点两侧导数正负符号有何规律? 若 是函数 的极值点需满足什么条件？ x2 注意:(1) f?(x0) =0， x0不一定是极值点 (2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f?(x0) =0的点，再列表判断单调性 结论：极值点处，f?(x) =0 例1： 求函数 的极值点。 解: 令 解得 列表讨论, 的符号、 f (x) 的单调性和极值点: (–∞, –1) –1 (–1, 3) 3 ( 3, +∞) 0 0 极大值 极小值 – + + 所以, f (x) 的极大值点为 x = –1; f (x) 的极小值点为 x = 3 的定义域为 求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间 ，并列成表格讨论导函数f’(x)的符号和函数f(x)的单调性。 （5）观察上表中f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况，并计算极值 课堂练习 （1）求函数 的极值。 （2）求函数 的极值 * *