高中数学11.几何法求空间角复习试题.pdfVIP

5 几何法求空间角 空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画．利 用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体，能综合考查同学们的空间想象 能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力．下面就利用几何法求空间角 的策略进行分析． 1．求线面角 求线面角，要找出斜线在平面上的射影，其关键是作垂线找垂足，把线面角转化到一个三角 形中求解 S ABCD SA AB E F G BC SC CD P 例 1 如图，正四棱锥 － 中， ＝ ＝2， ， ， 分别为 ， ， 的中点．设 FG 为线段 上任意一点． PE AC (1)求证： ⊥ ； P FG BP EFG (2)当 为线段 的中点时，求直线 与平面 所成角的余弦值． AC BD O (1)证明 设 交 于 ， S ABCD SO ABCD BD AC ∵ － 为正四棱锥，∴ ⊥底面 ， ⊥ ， AC ABCD SO AC 又 ⊂平面 ，∴ ⊥ ， BD SO O BD SO SBD AC SBD ∵ ∩ ＝ ， ， ⊂平面 ，∴ ⊥平面 ， E F G BC SC CD ∵ ， ， 分别为 ， ， 的中点， FG SD BD EG ∴ ∥ ， ∥ . FG EG G SD BD D FG EG EFG SD BD SBD 又 ∩ ＝ ， ∩ ＝ ， ， ⊂平面 ， ， ⊂平面 ， EFG BSD AC GEF ∴平面 ∥平面 ，∴ ⊥平面 . PE GEF PE AC 又∵ ⊂平面 ，∴ ⊥ . B BH GE H PH (2)解 过 作 ⊥ 于 ，连接 ， BD AC BD GH BH AC ∵ ⊥ ， ∥ ，∴ ∥ ， AC GEF BH GEF 由(1)知 ⊥平面 ，则 ⊥平面 . BPH BP EFG ∴∠ 就是直线 与平面 所成的角． 2 13 15 BHP BH PH PB 在Rt△ 中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， 2 2 2 PH 195 BPH 故cos∠ ＝ ＝ . PB 15 2．求二面角 求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强调“垂直”，其常见途径： (1)利用共底的两个等腰三角形；(2)利用共公共边的两个全等三角形；(3)利用线面垂直和面 面垂直的性质；(4)对于“无棱”二面角一般须先确定棱，然后再利用上述方法作出平面角． 1 S ABC ABC a SA ABC AS a 例2 在三棱锥 － 中，已知△ 是边长为 的等边三角形，且 ⊥底面 ， ＝ ， 2 A BC S 求二面角 － － 的大小． AB AC a BAS CAS SB SC BC D 解 如图所示，因为 ＝ ＝ ，∠ ＝∠ ＝90°，所以 ＝ .取 的中点为 ，连 AD SD