第六章多自由度体系地微振动.pdf

实用标准文案 第六章 多自由度体系的微振动 教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格 朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用 简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。 教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和 简正坐标的物理意义。 教学难点：简正坐标的物理意义。 §6.1 振动的分类和线形振动的概念 振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等） ，在微观领域也是一种普 遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等） 。振动的种类根据所依据的标准不 同可有几种分类方法，下面将简单介绍。 一：振动的分类 1.按能量的转换来划分 . 自由振动——系统的能量 E 为常数，即能量守恒。 阻尼振动——系统的能量 E 逐渐转化为热能 Q 。 强迫振动——系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能 Q 。 2.按体系的自由度划分 . 单自由度振动——体系的自由度 S=1。 有限多自由度振动和无限多自由度振动——体系的自由度为大于 1 的有限值或无限大值。 3.按体系的动力学微分方程的种类划分 . 线性振动——体系的运动微分方程为线性方程。 非线性振动——体系的运动微分方程为非线性方程。 4.本章研究的主要问题 . 以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说 振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以进一步分为单 自由度线性振动、 有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。 表 6.1 给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主 精彩文档 实用标准文案 要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。 表 6.1 线性振动 非线性振动 单自由度 Ⅰ Ⅳ 有限多自由度 Ⅱ Ⅴ 无限自由度 Ⅲ Ⅵ 二：有限多自由度线性振动 1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。 g 例如：单摆的运动微分方程为 sin 0 ，方程为非线性的。 但当 很小时有 sin ， l g 方程变为线性方程 0 。如果同时还存在有阻尼 及强迫力 f ( t ) ，则方程可写成 l g f ( t ) ，仍为线性方程。 l 2.应用：一般情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时， 只要考虑它的最低级近似即可。 这样的振动无论是自由振动、阻尼振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振 动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。 三：平衡位置及其分类 . 1.平衡位置的定义及判定方法。 （1）定义：如果力学体系在