2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《五 第2讲 圆锥曲线的方程与性质(小题)》.docxVIP

第2讲　圆锥曲线的方程与性质(小题) 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值. 例1　(1)(2019·石嘴山模拟)已知F1，F2分别为双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过右焦点F2的直线l：x＋y＝c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为QF2的中点，△QF1F2的面积为4，则双曲线E的方程为(　　) A.x22－y2＝1 B.x22－y22＝1 C.x24－y24＝1 D.x24－y23＝1 答案　B 解析　双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)过第一象限的渐近线方程为y＝bax， 代入直线x＋y＝c，可得P\a\vs4\al\co1(\f(acbca＋b)， 且Q(0，c)，F2(c,0)， 点P为QF2的中点，可得c＝2aca＋b＝2bca＋b， 可得a＝b， △QF1F2的面积为4，即12·2c·c＝4， 解得c＝2，a＝b＝2， 则双曲线的方程为x22－y22＝1. (2)(2019·南充模拟)P是双曲线x23－y24＝1的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为(　　) A.3 B.2 C.7 D.3 答案　A 解析　如图所示F1(－7，0)，F2(7，0)， 设内切圆与x轴的切点是点H，与PF1，PF2的切点分别为M，N， 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝23， 由圆的切线长定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1H|，|F2N|＝|F2H|， 故|MF1|－|NF2|＝23， 即|HF1|－|HF2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x，即点H的横坐标为x， 故(x＋7)－(7－x)＝23， ∴x＝3. 跟踪演练1　(1)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为(　　) A.1 B.2 C.－1 D.8 答案　A 解析　因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)， 所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2＝4x， 由y2＝4x，x－12＋y2＝4，) 解得x＝1，y＝2，)或x＝1，y＝－2，)所以A(1,2). 抛物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)， 准线方程为y＝－2， 即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1， 当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1. (2)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为－23，则C的方程为(　　) A.x212＋y28＝1 B.x212＋y24＝1 C.x23＋y22＝1 D.x23＋y2＝1 答案　C 解析　由△AF1B的周长为43， 可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝43， 解得a＝3，则M\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，0)，N(3，0). 设点A(x0，y0)(x0≠±3)， 由直线AM与AN的斜率之积为－23， 可得y0x0＋\r(3)·y0x0－\r(3)＝－23， 即y20＝－23(x20－3)，① 又203＋20b2＝1，所以y20＝b2\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(203)，② 由①②解得b2＝2. 所以C的方程为x23＋y22＝1. 热点二　圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ba)))2. (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ba)))2. 2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系. 例2　(1)(2019·济南模拟)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且→·→＝0