14乘法公式与全概率公式.ppt

概率论 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 § 1.4 条件概率与三个概率公式 概率论 一、条件概率 对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言 的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出 附加的条件，即已知某一事件 B 已经发生，要求另 一事件 A 发生的概率。 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为 ( 男 , 男 ),( 男 , 女 ), ( 女 , 男 ),( 女 , 女 ) 的可能性是一样的。 若 A 记为“一男一女”，则 P ( A )=1/2 ； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件 的概率应为 2/3. 概率论 例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为 ( 男 , 男 ),( 男 , 女 ), ( 女 , 男 ),( 女 , 女 ) 的可能性是一样的。 若 A 记为“一男一女”，则 P ( A )= 1/2 ； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件 的概率应为 2/3 . 我们将“已知事件 B 发生的条件下 , 事件 A 发生 的概率”称为 条件概率 ，记为 P ( A | B ) 。 若记 B 为至少有一男孩，则上述概率为 ) | ( B A P ) ( ) ( B P A P ? 3 2 ? 4 3 4 2 ? . ) ( ) ( B P AB P ? B A ? 概率论 条件概率的计算公式规定如下： ) ( ) ( ) | ( B P AB P B A P ? ) 0 ) ( ( ? B P 例 1 设袋中有 7 个黑球， 3 个白球，不放回摸取两次， 如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的 概率。 解 设 A , B 分别表示第一、二次摸到白球 , 则 法二： ) ( ) ( ) | ( A P AB P A B P ? 法一 : ( | ) k P B A n ? 10 / 3 ? 1 2 1 9 2 . 9 C C ? ? ; 9 2 ? 2 10 A 2 3 / A A 发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数 在缩减样本空 间中 B 所含样 本点个数 概率论 例 2 设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概 率为 0.8 ，活到 25 年以上的概率为 0.4. 问现年 20 岁的 这种动物，它能活到 25 岁以上的概率是多少？ 解 设 A ={ 能活 20 年以上 } ， B ={ 能活 25 年以上 } 依题意， P ( A)= 0.8, P ( B)= 0.4 所求为 P ( B|A ) . ) ( ) ( ) | ( A P AB P A B P ? 5 . 0 8 . 0 4 . 0 ) ( ) ( ? ? ? A P B P 概率论 不难验证条件概率具有以下三个 基本性质 ： ； 0 ) | ( ? B A P (1) 非负性 ( | ) 1 P B ? ? ； (2) 规范性 (3) 可加性 设 ? ? n A A , , 1 是 两两 不相 容的 事件， 则 1 1 ( | ) ( | ) n n i i i i P A B P A B ? ? ? ? 并由此推出条件概率的其它性质： ； 0 ) | ( ) 4 ( ? B Φ P ; ) | ( 1 ) | ( ) 5 ( B A P B A P ? ? ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) 6 ( 2 1 2 1 2 1 B A A P B A P B A P B A A P ? ? ? ? 概率论 1. 设 A 与 B 互不相容 , 且 P(B)0, 则 P(A|B)=________ 2. 设 A 与 B 为两事件 , 且 P(A)=0.7, P(B)=0.6, 5 . 0 ) ( ? B A P ? ) | ( A B P 则 ) ( ) ( ) ( : AB P B P B A P ? ? 由 解 1 . 0 ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? B A P B P AB P 7 1 ) ( ) ( ) | ( ? ? A P AB P A B P 从而 练习 0 概率论 注：概率 P(A|B) 与 P(AB) 的区别与 联系 联系：事件 A ， B 都发生了 区别： （ 1 ）在 P(A|B) 中，事件 A ，