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5.5二次函数y=ax2的图象和性质导学案
学习目标:
1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象,经历画图象的过程。
2.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识。
3、经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养观察、思考、归纳的良好思维习惯。
4.进行由具体到抽象,由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育。
学习重难点:
重点:会用描点法画二次函数y=ax2的图象,掌握它的性质.
难点:数形结合思想、分类讨论思想在探索二次函数图象和性质过程中的应用.
学习过程:
【课前延伸】
画函数图象的基本方法与步骤是什么?
一次函数的图象是 ,反比例函数的图象是 。
我们已经知道,一次函数,反比例函数的图象分别是 、 ,我们曾借助图象研究其性质,那么二次函数的图象是什么呢?它有什么特点和性质呢?让我们类比一次函数和反比例函数的学习,先从最简单最特殊的二次函数y=ax2来研究二次函数的图象和性质。
【课内探究】
自主学习(千里之行,始于足下,相信自己,你能行)
请用描点法画出二次函数y=x2的图象
思考与提示:
描点法画函数的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x取互为相反数的值时,y的值如何?
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点
(3)连线:用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数y=x2的图象。
思考:观察这个函数的图象,它有什么特点?
通过观察,思考,小组内讨论、交流,归结:
抛物线概念:象刚才画出的这样的曲线通常叫做抛物线。
图象是轴对称图形,图象有 条对称轴,且对称轴和图象有 个交点。
顶点概念:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
合作交流(海阔凭鱼跃,天高任鸟飞)
1.在同一直角坐标系中,再画出函数y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?
2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?
3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?
列表:
x
y=-x2
y=2x2
y=-2x2
精讲点拨(师生共同归纳概括,重点知识,重点巩固)
(要求:每个同学通过本环节,进一步解疑)
归纳概括:
函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例,由函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象的共同特点,可知:
函数y=ax2的图象是一条________,它关于______对称,它的顶点坐标是______。
思考:如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类?为什么?
观察y=x2、y=2x2的图象,填空:
1、当a0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。
思考:图象的这些特点反映了函数的什么性质?
小组交流,填空:
2、当a0时,函数y=ax2具有这样的性质:
当x0时,函数值y随着x的增大而______,当xO时,函数值y随X的增大而______;当x=______时,函数值y=ax2 (a0)取得最小值,最小值y=______
思考:
观察函数y=-x2、y=-2x2的图象,试作出类似的概括,当aO时,抛物线y=ax2有些什么特点?它反映了当aO时,函数y=ax2具有哪些性质?
思考、讨论、交流,概括:
3、当aO时,抛物线y=ax2开口向 ,在对称轴的左边,曲线自左向右 ;在对称轴的右边,曲线自左向右 , 是抛物线上位置 的点。图象的这些特点,反映了当aO时,函数y=ax2的性质:当x0时,函数值y随x的增大而 ;与xO时,函数值y随x的增大而 ,当 时,函数值y=ax2取得最 值,最 值是 。
四、巩固检测(登泰山而小天下)
(一)有效训练(演练巩固)
1、不画图象,说出抛物线y=-4x2和y=x2的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2、变式训练:若抛物线y=ax2 (a ≠ 0),是一条不经过第一,二象限的抛物线,则a 0(填“”,“”或“=”)
3、根据前面已画图象填空
抛物线y=2x2顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随x值的增大而增大,在 侧,y随增大x值的而减小,当x=
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